初二 第七讲 根式及其运算

二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．

　　二次根式的性质：

　　二次根式的运算法则：

　　设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅

　　例1 化简：

　　因为x-2＜0，1-x＜0，所以

　　原式=2-x+x-1=1．

　　　　　　＝a-b-a+b-a+b=b-a．

　　说明 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．

　　例2 化简：

　　分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．

　　解法1 配方法．

　　配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则

　　解法2 待定系数法．

　　例4 化简：

　　(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．

　　分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成

　　解 设

　　(xyz)²=5×7×35=35²．

　　因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以

xyz=35．⑤

　　⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以

　　解 设原式=x，则

　　解法1 利用(a＋b)³＝a³＋b³＋3ab(a＋b)来解．

　　(x-4)(x²＋4x＋10)＝0．

　　x²＋4x＋10＝(x＋2)²＋6＞0，

　　所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．

　　解法2

　　说明 解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．

　　例8 化简：

　　解(1)

　　解 用换元法．

　　解 直接代入较繁，观察x，y的特征有

　　3x²-5xy＋3y²＝3x²＋6xy＋3y²-11xy

　　　　　　　 ＝3(x＋y)²-11xy

　　 　　　　　＝3×10²-11×1＝289．

　　例11 求

　　分析 本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．

　　解 设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a²-b²，所以

　　A＝(2-1)(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)…(2²56＋1)＋1

　　＝(2²-1)(2²＋1)(2⁴＋1)(2⁸＋1)…(2²56＋1)＋1

　　＝(2⁴-1)(2⁴＋1)(2⁸＋1)(2¹⁶＋1)…(2²56＋1)＋1

　　＝…＝(2²56-1)(2²⁵⁶＋1)＋1

　　＝2^2×256-1＋1＝2^2×256，

　　分析与解 先计算几层，看一看有无规律可循．

　　解 用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有

　　x⁴-4x²＋4＝2＋x，所以x⁴-4x²-x＋2＝0．

　　观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有

　　(x＋1)(x-2)(x²＋x-1)＝0．

　　解 因为

　　1．化简：

　　2．计算：

　　3．计算：

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