第九讲 一元二次方程

　　方程ax²+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．

　　对于方程ax²+bx+c=0(a≠0)，△=b²-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即

　　当△=0时，方程有两个相等的实数根，即

　　当△＜0时，方程无实数根．

　　分析 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．

　　例2 解关于x的方程：

　　x²-(p²+q²)x+pq(p+q)(p-q)=0．

　　解 用十字相乘法分解因式得

　　[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，

　　所以x₁=p(p-q)，x₂=q(p+q)．

　　例3 已知方程(2000x)²-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x²+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．

　　解 由方程(2000x)²-2001×1999x-1=0得

(2000²x+1)(x-1)=0，

(x+1999)(x-1)=0，

　　故x₁=-1999，x₂=1，所以β=-1999．所以

α-β=1-(-1999)=2000．

　　例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．

　　分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为

3x-1=4x+1，

　　所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．

　　解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，

　　(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，

　　(x-1)(x+2)=0，

　　所以 x₁=1，x₂=-2．

　　例5 解方程：x²-3｜x｜-4=0．

　　分析 本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．

　　解法1 显然x≠0．当x＞0时，x²-3x-4=0，所以x₁=4，x₂=-1(舍去)．当x＜0时，x²+3x-4=0，所以x₃=-4，x₄=1(舍去)．

　　所以原方程的根为x₁=4，x₂=-4．

　　解法2 由于x²=｜x｜²，所以

　　｜x｜²-3｜x｜-4=0，

　　所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，

　　所以 ｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．

　　所以 x₁=4，x₂=-4．

　　例6 已知二次方程

　　3x²-(2a-5)x-3a-1=0

　　有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．

　　解 由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以

　　3×2²-(2a-5)×2-3a-1=0，

　　故a=3．原方程为

　　3x²-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，

　　例7 解关于x的方程：ax²+c=0(a≠0)．

　　分析 含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．

　　当c=0时，x₁=x₂=0；

　　当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．

　　例8 解关于x的方程：

　　(m-1)x²+(2m-1)x+m-3=0．

　　分析 讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．

　　解 分类讨论．

　　(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程

x-2=0，

　　所以x=2．

　　(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．

　　△=(2m-1)²-4(m-1)(m-3)=12m-11．

　　例9 解关于x的方程：

　　a²(x²-x+1)-a(x²-1)=(a²-1)x．

　　解 整理方程得

　　(a²-a)x²-(2a²-1)x+(a²+a)=0．

　　(1)当a²-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为

　　[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，

　　(2)当a²-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2．

　　例10 求k的值，使得两个一元二次方程

　　x²+kx-1=0，x²+x+(k-2)=0

　　解 不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有

　　a²+ka-1=0， ①

　　a²+a+(k-2)=0． ②

　　①-②有

　　ka-1-a-(k-2)=0，

　　即 (k-1)(a-1)=0，

　　所以k=1，或a=1．

　　(1)当k=1时，两个方程都变为x²+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根

　　(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为

x²-1=0，x²+x-2=0．

　　解这两个方程，x²-1=0的根为x₁=1，x₂=-1；x²+x-2=0的根为x₁=1，x₂=-2．x=1为两个方程的相同的根．

　　例11 若k为正整数，且关于x的方程

　　(k²-1)x²-6(3k-1)x+72=0

　　有两个不相等的正整数根，求k的值．

　　解 原方程变形、因式分解为

　　(k+1)(k-1)x²-6(3k-1)x+72=0，

　　[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，

　　即

　　4，7．所以k=2，3使得x₁，x₂同时为正整数，但当k=3时，x₁=x₂=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．

　　例12 关于x的一元二次方程x²-5x=m²-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．

　　解 不妨设方程的根α≥β，由求根公式得

｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，

　　 符合要求，所以m²≤1．

　　例13 设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x²+2ax+b²与x²+2cx-b²有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．

　　证 因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0必有公共根，设公共根为x₀ ，则

　　若x₀=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x₀=-(a＋c)．把x₀=-(a＋c)代入①式得

(a+c)²-2a(a+c)+bg2=0，

a²=b²+c²

　　所以△ABC为直角三角形．

　　例14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．

　　解 设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球

　　此时正方形共有(x-2)²个球，所以

　　即 x²-9x+8=0，

　　x₁=1，x₂=8．

　　因为x-2≥1，所以x₁=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)²=36个．

　　1．解方程：

　　(2)20x²+253x+800=0；

　　(3)x²+｜2x-1｜-4=0．

　　2．解下列关于x的方程：

　　(1)abx²-(a⁴+b⁴)x+a³b³=0；

　　(2)(2x²-3x-2)a²+(1-x²)b²=ab(1+x²)．

　　3．若对任何实数a，关于x的方程

x²-2ax-a+2b=0

　　都有实数根，求实数b的取值范围．

　　4．若方程x²+ax+b=0和x²+bx+a=0有一个公共根，求(a+b)²000的值．

　　5．若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程

　　4x²+4(a²+b²+c²)x+3(a²b²+b²c²+c²a²)=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．

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