第十五讲 相似三角形(一)

　　例1 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

　　分析 由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF．

　　解 在△ABC中，因为EF∥AB，所以

　　同样，在△DBC中有

　　设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得

　　说明 由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题

　　例2 如图2-65所示． ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．

　　分析 本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．

　　解 过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以

　　在△FOG中，由于GO∥EB，所以

　　例3 如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分

　　分析 因为AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．

　　证 过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，所以

∠BAD=∠CAD=60°．

∠BAD=∠EDA=60°，

　　所以△ADE是正三角形，所以

　　EA=ED=AD． ①

　　由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以

　　从而

　　例4 如图2-67所示． ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：

　　分析 与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．

　　证 延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以

　　在△OED与△OBH中，

∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，

　　所以 △OED≌△OBH(AAS)．

DE=BH=AI，

　　例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求

　　分析 设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证．

　　证 过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线截线段成比例性质知

　　说明 本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证．

　　例6 如图2-69所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．

　　分析 由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形．利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：

　　进而求d．

　　因为FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四边形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四边形．△BHI∽△AFG∽△ABC，从而

　　DE=PE＋PD=AI＋FB， ④

　　AF=AI＋FI， ⑤

　　BI=IF＋FB． ⑥

DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．

　　从而

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