第十七讲* 集合与简易逻辑

§17．1集合

　　我们考察某些事物的时候，常常要考虑由这些事物组成的群体，我们把这个群体叫作集合．组成某个集合的事物，叫作这个集合的元素．通常用大写字母A，B，C…等表示集合，小写字母a，b，c，…等表示元素．如果m是集合A的元素，就说m属于A，记作m∈A．如果n

　　(i)你的家庭中所有成员组成一个集合，你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素．

　　(ii)自然数全体1，2，3，…组成一个集合(通常把它叫作自然数集)．

　　(iii)如果A，B是平面上两个不同的点，那么A，B两点所确定的直线上的点组成一个集合，这条直线上每个点都是这个集合的元素．

　　(1)列举法

　　(i)由a，b，c，d，e五个小写字母组成的集合A，记作

A=｛a，b，c，d，e｝，

A=｛b，a，c，d，e)．

　　(ii)由小于40的质数组成的集合B，记作

B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．

　　(iii)平方等于1的有理数集合C，记作

C=｛1，-1｝．

　　(iv)三条直线l₁，l₂，l₃组成的集合D，记作

D=｛l1，l2，l3｝．

　　(2)特征性质描述法

　　所谓特征性质是指集合中元素的特征性质，即：(i)这个集合中每个元素都具有这些性质；(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素．

　　例如，集合=｛1,-1｝用特征性质描述法表示就是

A=｛x│x²=1｝，

A=｛x││x│=1｝．

　　全体偶数组成的集合B，用特征性质描述法表示就是

B=｛x│x是能被2整除的整数｝，

B=｛2n│n是整数｝．

　　全体奇数组成的集合C，用特征性质描述法表示就是

C=｛x│x是不能被2整除的整数｝，

C=｛2n＋1│n是整数｝，

C=｛2n-1│n是整数｝．

　　一般地，用特征性质α表示集合A的形式是：

A=｛x│x具有性质α｝．

　　(1)包含与子集

　　(i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：前者是后者的子集，后者包含前者．

　　(ii)设集合

　　例1 设A=｛1，2，3，4｝，试写出A的所有子集．

　　｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝．

　　(2)交集运算

　　对于给定的集合A，B，由它们的公共元素所构成的集合叫作集合A与B的交集．我们用A∩B表示A，B的交集(图2-88)．例如

　　(i)如图2-89，设

A=｛x│x是12的正因数｝，

B=｛x│5＜x＜13，x是整数｝，

　　A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝．

　　所以 A∩B=｛6，12｝．

　　(ii)设l₁，l₂是平面上两条不同的直线，则l₁∩l₂就是由它们的交点组成的集合．

　　如果l₁与l₂相交于一点P，则l₁∩l₂=｛P｝(图2-90)；

　　(3)并集运算

　　对于给定的两个集合A，B，把它们所含的元素合并起来所构成的集合，叫作集合A，B的并集，我们用符号A∪B表示A，B的并集(图2-92)．例如

　　(i)设M，N分别表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同学的集合．

　　(ii)设

A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，

　　则 A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．

　　注意 在求上述集合A，B的并集时，虽然在A，B中都有3和5，但在A∪B中，3，5只取一次．

　　(iii)设E=｛x│x是实数，且x≥4｝，

　　F={x│x是实数，且x≤-4}，G={x│x²≥16}．

　　则 E∪F=G．

　　一般地说，如果α，β分别是集合A，B的特征性质，即

　　A={x│x具有性质α} ，B=｛x│x具有性质β｝，则A∪B就是那些具有性质α或性质β的元素组成的集合，也就是

A∪B=｛x│x具有性质α或β｝，

A∪B={x│x∈A或x∈B}．

　　例2 设

　　A={x│x是12的正因数}，B={x│x是18的正因数}，

C={x│0≤x≤5，且x∈Z}．

　　求：(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C．

　　解 根据已知条件，用填文氏图各区域的元素的方法来解决(如图2-93(a)，(b)).

　　(1)A∩B∩C=｛1，2，3｝；

　　(2)A∪B∪C=｛0，1，2，3，4，5，6，9，12，18｝．

　　例3 设A={1，a，a²} ，B={1，a，b)，假定A，B中的元素都是整数，并且A∩B=｛1，3｝，A∪B=｛1，a，2a，3a｝，求a，b的值．

　　解 因为A=｛1，a，a²｝，B=｛1，a，b｝，所以

A∩B＝｛1，a｝．

　　已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又由于

　　A∪B=｛1，a，b，a²｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，所以b=6．

　　逻辑一词是LOGIC的音译，它是研究思维法则的一门学科．数学和逻辑的关系非常密切，在此，对逻辑知识做一些初步介绍．

　　如果设A={x│x是4的倍数}，B={x│x是2的倍数}，则A中元素具有性质α――4的倍数；B中元素具有性质β――2的倍数．我们知道：如果某元素x是4的倍数，那么x一定是2的倍数，即具有性质

　　(1)命题和逆命题

　　(i)雪是白的；

　　(ii)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2；

　　(iii)3+4=6；

　　上述所列都是对客观事物做出判断的语句．人们对客观事物的情况做出判断可能是正确的(真)，也可能是错误的(假)．我们把肯定或否定的判断语句叫作命题．上述语句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命题．

　　关于命题的真假性，有些容易判断，如(i)，(ii)是真命题，(iii)是假命题．但对(iv)的真假性就不是显然可判断的．可通过设x=1，y=0(x＞y)，那么

　　因此，命题(iv)为假命题(注意：证明一个命题为真命题，必须通过逻辑推演，但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可)．

　　(i)“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命题．它的逆命题“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命题．

　　(ii)“若a=0并且b=0，则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0并且b=0”就不是真命题．

　　(iii)“如果∠1，∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“∠1=∠2，那么∠1，∠2是对顶角”就是假命题．

　　(2)证明

　　例如，(i)若

　　∠1和∠2是对顶角，①

　　则 ∠1=∠2．③

　　(ii) 张三是人，①

　　已知：∠1是∠2的对顶角(图2-98)，求证：∠1=∠2．

　　应用已经被确认的正确命题和已知条件作根据，经过推演，导出某一命题成立，这种方法就叫作演绎推理法(简称演绎法)．演绎法是证明数学问题的重要方法．

　　　　　　

　　　　　　＝a²＋b²＋c²

　　(a+b-c)²=a²+b²+c².

　　例2 某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H八位同学获得了前八名，老师叫他们猜一下谁是第一名．A说：“或者F，或者H是第一名．”B说：“我是第一名．”C说：“G是第一名．”D说：“B不是第一名．”E说：“A说的不对．”F说：“我不是第一名．”G说：“C不是第一名．”H说：“我同意A的意见．”老师说八个人中有三人猜对了，那么试问第一名是谁？

　　分解与解 由已知条件可知：A与H同真假，E与F同真假，B与D必定一真一假．

　　(i)如果A与H猜对了，那么D与G也都猜对了．这样就有四人猜对，不合题意，因此，A与H必定都猜错了．

　　(ii)如果E与F猜对了，即F与H都不是第一名，这时若B猜对了，那么D就猜错了，C也猜错了，G猜对了，这样，就有E，F，B，G四人猜对，也与题意不符．因此B猜的不对，D猜对了，这时已有E，F，D三人猜对，所以G，C都必定猜错了，所以C是第一名．

　　1．已知A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，C={2，3，5，8} ，写出集合：

　　(1)A∩B∩C； (2)A∪B∪C；

　　(3)A∩(B∪C)；(4)A∪(B∩C)．

　　3．有某种产品100个，通过两种检查，第一种检查合格品有90个，第二种检查合格品有78个，两种检查都合格的有72个．试问这100个产品中，通过两种检查都不合格的产品有多少个？

　　(1)a＞0□│a│＞0；

　　(2)a＝0且b=0□a²＋b²=0；

　　(3)(x-a)(x-b)=0□x=a或x=b；

　　(4)如果α＞1，β＞2，γ＞3，那么，α□γ，β□α，β□γ．

　　5．写出下列命题的逆命题，并指出其真假．

　　(1)若a=b，则(a-b)² =0；

　　(2)若a=b，则a²-b²=0；

　　(3)若a≠b，则a²＋b²＞2ab；

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