第十八讲 归纳与发现的重要作用

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

　　例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

　　分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．

第一层有点数：1；

第二层有点数：1×6；

第三层有点数：2×6；

第四层有点数：3×6；

第n层有点数：(n-1)×6.

　　因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为

　　例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

　　(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

　　(2)这n个圆共有多少个交点？

　　分析与解 (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．

　　由表18．1易知

S₂-S₁=2，

S₃-S₂＝3，

S₄-S₃＝4，

S₅-S₄＝5，

S_n-S_n-1＝n．

　　把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

S_n-S₁＝2＋3＋4＋…＋n，

　　因为S₁=2，所以

　　下面对S_n-S_n-1=n，即S_n=S_n-1＋n的正确性略作说明．

　　因为S_n-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在S_n-1上，所以有S_n=S_n-1＋n．

　　(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．

　　由表18．2容易发现

a₁＝1，

a₂-a₁＝1，

a₃-a₂＝2，

a₄-a₃＝3，

a₅-a₄＝4，

a_n-1-a_n-2＝n-2，

a_n-a_n-1＝n-1．

　　n个式子相加

　　注意 请读者说明a_n=a_n-1＋(n-1)的正确性．

　　例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？

　　分析与解 我们先来研究一些特殊情况：

　　(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，…．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

　　(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．

　　这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．

　　(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．

　　这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．

　　通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

　　这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，…，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

　　例4 设1×2×3×…×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.

　　分析与解 先观察特殊情况：

　　(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；

　　(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；

　　(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；

　　(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．

　　由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.

　　1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)

　　　　　=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n

　　　　　=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n

　　　　　=2！×3+3！×3+…＋n！×n

　　　　　=3！+3！×3+…+n！×n＝…

　　　　　=n！+n！×n=(n＋1)！，

　　所以原式=(n+1)！-1.

　　例5 设x＞0，试比较代数式x³和x²+x+2的值的大小．

　　分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x³＜x²+x+2．①

　　设x=10，则有x³=1000，x²+x＋2=112，所以

x³＞x²+x+2．②

　　设x=100，则有x³＞x²+x+2．

　　观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x³＜x²+x+2；当x值较大时，x³＞x²+x+2．

　　那么自然会想到：当x=？时，x³=x²+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x³=x²＋x＋2，则

x³-x²-x-2＝0，

(x³-x²-2x)＋(x-2)=0，

(x-2)(x²+x+1)=0．

　　因为x＞0，所以x²+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样

　　(1)当x=2时，x³=x²+x+2；

　　(2)当0＜x＜2时，因为

x-2＜0，x²+x+2＞0，

　　所以 (x-2)(x²＋x+2)＜0，

x³-(x²＋x+2)＜0，

　　所以 x³＜x²＋x＋2.

　　(3)当x＞2时，因为

x-2＞0，x²+x+2＞0，

　　所以 (x-2)(x²+x+2)＞0，

x³-(x²＋x＋2)＞0，

　　所以 x³＞x²＋x＋2．

　　综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答．

　　分析 先由特例入手，注意到

　　例7 已知E，F，G，H各点分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边上(如图2―101)．

　　(2)当上述条件中比值为3，4，…，n时(n为自然数)，那S么S_{四边形EFGH}与S_{四边形ABCD}之比是多少？

　　G引GM∥AC交DA于M点．由平行截割定理易知

　　(2)设

　　当k=3，4时，用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表18．5.

　　观察表18．5中p，q的值与对应k值的变化关系，不难发现：当k=n(自然数)时有

　　1．试证明例7中：

　　2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

　　(1)这n条直线共有多少个交点？

　　(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？

　　然后做出证明.)

　　4．求适合x⁵=656356768的整数x．

　　(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：50⁵＜656356768＜60⁵，所以50²＜x＜60²．)

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