第八讲 根与系数的关系及应用

如果一元二次方程ax²＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x₁，x₂，那么

反过来，如果x₁，x₂满足x₁+x₂=p，x₁x₂=q，则x₁，x₂是一元二次方程x₂-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．

　　1．已知一个根，求另一个根

　　例1 方程(1998x)²-1997?1999x-1=0的大根为a，方程x²＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值．

　　解 先求出a，b．

　　由观察知，1是方程(1998x)²-1997?1999x-1=0的根，于是由韦达

　　又从观察知，1也是方程x²＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999．

　　所以a-b=1-(-1999)=2000．

　　例2 设a是给定的非零实数，解方程

　　解 由观察易知，x1=a是方程的根．又原方程等价于

　　2．求根的代数式的值

　　例3 已知二次方程x²-3x＋1=0的两根为α，β，求：

　　(3)α3＋β3；(4)α3-β3．

　　解 由韦达定理知

α+β=3，αβ=1．

　　(3)α³＋β³=(α+β)(α²-αβ+β²)

　　　　　　　=(α+β)[(α+β)²-3αβ]

　　　　　　　=3(9-3)=18；

　　(4)α³-β³=(α-β)(α²+αβ+β²)

　　　　　 　=(α-β)[(α+β)²-αβ]

　　例4 设方程4x²-2x-3=0的两个根是α和β，求4α²＋2β的值．

　　解 因为α是方程4x²-2x-3=0的根，所以

4α²-2α-3＝0，

4α²=2α＋3．

4α²+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．

　　例5 已知α，β分别是方程x²＋x-1=0的两个根，求2α⁵+5β³的值．

　　解 由于α，β分别是方程x²＋x-1=0的根，所以

α²+α-1=0，β²+β-1=0，

即 α²=1-α，β²=1-β．

　　　　　α⁵=(α²)²?α=(1-α)²α=(α²-2α+1)α

　　　　　　=(1-α-2α+1)α=-3α²+2α

　　　　　　=-3(1-α)+2α=5α-3，

　　　　　β³=β²?β=(1-β)β=β-β²

　　　　　 　=β-(1-β)=2β-1．

　　　　　2α⁵+5β³=2(5α-3)+5(2β-1)

　　　　　　　　 　=10(α+β)-11=-21．

　　说明 此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．

　　例6 设一元二次方程ax²＋bx＋c=0的两个实根的和为s₁，平方和为s₂，立方和为s₃，求as₃＋bs₂＋cs₁的值．

　　解 设x₁，x₂是方程的两个实根，于是

所以 　　　　　as₃＋bs₂＋cs₁=0．

　　说明 本题最“自然”的解法是分别用a，b，c来表示s₁，s₂，s₃，然后再求as₃＋bs₂＋cs₁的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再介绍一种更为“本质”的解法．

　　另解 因为x₁，x₂是方程的两个实根，所以

as₃＋bs₂＋cs₁＝0．

　　3．与两根之比有关的问题

　　例7 如果方程ax²＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：

kb²=(k＋1)²ac．

　　证 设方程的两根为x₁，x₂，且x₁=kx₂，由韦达定理

由此两式消去x₂得

kb²＝(k＋1)²ac．

　　例8 已知x₁，x²是一元二次方程

4x²-(3m-5)x-6m²＝0

　　解 首先，△=(3m-5)²＋96m²＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知

从上面两式中消去k，便得

即 　　　　　　m²-6m+5=0，

所以 m₁=1，m₂=5．

　　4．求作新的二次方程

　　例9 已知方程2x²-9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方．

　　解 设x₁，x₂为方程2x²-9x＋8=0的两根，则

设所求方程为x²+px+q=0，它的两根为x'₁，x'₂，据题意有

36x²-161x＋34=0．

　　例10 设x²-px＋q=0的两实数根为α，β．

　　(1)求以α³，β³为两根的一元二次方程；

　　(2)若以α³，β³为根的一元二次方程仍是x²-px＋q=0，求所有这样的一元二次方程．

解 (1)由韦达定理知

α+β=p，αβ=q，

α³+β³=(α+β)[(α+β)²-3αβ]=p(p²-3q)，

α³?β³=(αβ)³=q³．

所以，以α³，β³为两根的一元二次方程为

x²-p(p²-3q)x+q³=0．

　　(2)由(1)及题设知

由②得q=0，±1．若q=0，代入①，得p=0，±1；若q=-1，代入①，

以，符合要求的方程为

x²=0，x²-x=0，x²+x=0，x²-1=0．

　　5．证明等式和不等式

　　例11 已知实数x，y，z满足

x=6-y，z²=xy-9，

求证：x=y．

　　证 因为x＋y=6，xy=z²＋9，所以x，y是二次方程

t²-6t+(z²+9)=0

△=36-4(z²+9)=-4z²≥0，

即z²≤0．因z为实数，显然应有z²≥0．要此两式同时成立，只有z=0，从而△=0，故上述关于t的二次方程有等根，即x=y．

　　例12 若a，b，c都是实数，且

a＋b＋c=0，abc=1，

　　证 由a＋b＋c=0及abc=1可知，a，b，c中有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得

于是根据韦达定理知，b，c是方程

的两个根．又b，c是实数，因此上述方程的判别式

因为a＞0，所以

a³-4≥0，a³≥4，

　　例13 知x₁，x²是方程4ax²-4ax+a+4=0的两个实根．

　　解 (1)显然a≠0，由△=16a²-16a(a+4)≥0，得a＜0．由韦达定理知

所以a=9，这与a＜0矛盾．故不存在a，使

(2)利用韦达定理

所以(a+4)|16，即a+4=±1，±2，±4，±8，±16．结合a＜0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20．

　　1．选择：

　　(1)若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b²-4ac与平方式M=(2ax₀+b)²的关系是 [ 　　]

　　　(A)△＞M 　　　　　　(B)△=M

　　　(C)△=＜M 　　　　　　(D)不确定

　　(2)方程x²+px+1997=0恰有两个正整数根x₁，x₂，则　

　　[ 　　]

　　　(A)-4　　　　　　(B)8

　　　(C)6 　　　　　　(D)0

　　为 [ 　　]

　　　(A)3　　　　　　　(B)-11

　　　(C)3或-11　　　　　(D)11

　　2．填空：

　　(1)如果方程x²+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么，p，q满足的关系式是______．

　　(2)已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，

1993+5a²+9a⁴=_______．

　　(4)已知a是方程x²-5x+1=0的一个根，那么a⁴+a-4的末位数是______．

　　另一根为直角边a，则此直角三角形的第三边b=______．

　　3．已知α，β是方程x²-x-1=0的两个实数根，求α⁴+3β的值．

　　4．作一个二次方程，使它的两个根α，β是正数，并且满足关系式