第四讲 有关方程组的问题

　　1．二元二次方程组

　　例1 解方程组

　　解 ②×2-①×3得

4x＋9y-6＝0．

　　例2 解方程组

　　解 ②×(-2)+①得

3y²+3y-6=0，

所以 y₁=1，y₂=-2．

　　例3 解方程组

　　解 由②得

(2x+y)(x-2y)=0，

所以 　　　　　　　　　　　　　　　　　2x+y=0或x-2y=0．

　　例4 解方程组

　　解 由①-②×2得

x²-2xy-3y²=0，

即 (x+y)(x-3y)=0，

所以 x＋y=0或x-3y=0．

　　2．二元对称方程组

　　方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如

x²-5xy＋y²-3x-3y=7，

　　例5 解方程组

　　解 方程组中的x，y分别是新方程

m²-5m+4=0

的两个解．解关于m的一元二次方程得m₁=1，m₂=4，所以原方程组的解是

　　这个方程组亦可用代入法求解(略)．

　　由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．

　　例6 解方程组

　　解 原方程组可变形为

①×2＋②得

令u=x＋y，则

　　例7 解方程组

　　分析 本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．

　　解 由①得

xy=16． ④

　　例8 解方程组

　　分析 本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x-y=0，从而使方程降次化简．

　　解 ①-②，再因式分解得

(x-y)(x+y-10)=0，

所以 x-y-0或x＋x-10=0．　　　　

　　例9 解方程组

解法1 用换元法．设

4x＋5=A，4y+5=B，

则有

　　　　　　

即

　　　　

③-④并平方得

整理得

所以

因此A-B=0或

分别解下列两个方程组

与

　

　　经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是

　　

　　解法2 ①-②得

即

　

所以x-1与y-1同号或同为零．由方程①得

　

所以x-1与y-1不能同正，也不能同负．从而

x-1=0，y-1=0．

由此解得

　

　　经检验，x=1，y=1是方程组的解．

练习四

　　1．填空：

　　(1)方程组

的解有_____组．

　　(2)若x，y是方程组

　

　　(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．

　　(4)已知实数x，y，z满足方程组

则xyz=________．

　　2．解方程组：

　　　　

　　　　　

　　　　　

　　3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若

　

　　4．已知一元二次方程

a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0

有两根0，1，求a∶b∶c．

　　5．(1)解方程组　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　

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