一道中考数学压轴题给我们的启迪

　　一道中考数学压轴题给我们的启迪，从2005年各市的中考数学压轴题中好好总结一下，这对我们如今的教育教学和升学考试指导等工作将是十分有益的。
　　首先我们来看一下改革前沿的上海市中考数学压轴题，然后再加以分析和解答。

　　例题：（2005年上海市中考数学最后一题第25题）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以0为圆心作半圆，与边AB相切于点D,交线段OC于点E，作EP⊥ED交射线AB于点P，交射线CB于点F.（1）如图，求证：△ADE∽△AEP；

　　（2）设OA=,AP=时，求关于的函数关系式，并写出它的定义域；

　　（3）当BF=1时，求线段AP的长。分析：此题起点不高，但要求较全面。是一道数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角比相结合的综合性试题。同时考查了初中数学中最重要的数学思想：数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。本题似曾相识又不相识，融入了动态几何的变和不变，要求学生动中求静，静中思变，有一定难度，但上手还是容易的。本题有三问，相当于三个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生正常水平的发挥。而通过层层设问，拾级而上，逐步深入，能够使一部分优秀学生数学水平得到体现，起到了中考―――升学考试选拔的功能。

　　第（1）问是基础，求两个三角形相似，只要连结OD，易于找出有两个角对应相等，即可得出结论。起点低，上手容易，绝大多数学生都能够比较轻松的给以解答。

　　第（2）问和第（3）问的解答，由数形结合求出函数的关系式后，既要善于观察和推理判断，又要准确的计算，更要全面细致的分析。首先要充分运用数学中分类讨论的思想，仔细审题，抓住线段和射线这两个概念的区别，考虑到圆心O在AC上运动变化时的两种情形，使EP⊥ED交线段AB于点P和EF交AB延长线于点P，分别讨论解决，即可得出正确答案。

　　简解：（1）连结OD,只需证出∠ADE=∠AEP，或∠AED=∠APE,而∠A=∠A是公共角，即可证得△ADE∽△AEP。

　　（2）由（1）问，得出△ADE∽△AEP，它们的对应边成比例。

　　由已知条件，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，利用勾三股四弦五整数组解，（详见6月21日《新闻晚报》我们的文章“从压轴题看勾三股四的运用”），即得到解答：

　　y关于的x函数关系式是：y=165x。

　　求函数的定义域，比较容易出错，造成漏解和错解。要充分运用数学中分类讨论的思想，仔细审题，抓住线段和射线这两个关键性的概念，得到函数的定义域是：0＜x≤258。

　　（3）由△ADE∽△AEP和△FBP∽△DEP，它们的对应边成比例，采用过渡比，代入数值，AP也是两种情形，可计算出AP=2或6两解。

　　以上我们对今年上海市的中考数学压轴题进行了分析和解答，它给了我们那些启示？

　　■上海市的二期课改已从中考这个教育教学最有力的“指挥棒”开始行动起来了。每个学生连中考数学压轴题都可以下手，起码得个2至5分，何况其它题呢？因此，我们今后的数学教育教学要扎扎实实按照实施素质教育的要求去做，确实体现二期课改“以学生发展为本”的教育理念，减轻学生过重的课业负担，狠抓基础教学，重视“双基”训练，包括抓好概念的辨析、主要公式的记忆、数学解题程式的掌握，争取让所有学生达到新课程标准的基本要求。

　　■从今年上海市的中考数学压轴题中，我们可以看到在考察学生基本运算能力、思维能力的同时，对优生还要着重考查学生灵活运用数学知识分析和解决问题的能力。因此，我们今后的数学教育教学中，对这部分学生的培养，应设计一些可考查他们灵活运用数学知识分析和解决问题的习题，但不要人为编造繁难的计算题和证明题。立意要新，要特别注重于创新意识和发散性思维能力的培养。

　　■今年上海市的中考数学压轴题中，与往年相同，也着重考查了学生对数学思想方法的理解和掌握。因此，给我们的启示是：在今后的数学教育教学中，重要的数学思想方法，如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想的教学要加强，而不是削弱。

　　■从今年上海市的中考数学压轴题学生的解答中，我们可以知道：要使这个题完全正确得满分，也是不易的。据了解一所普通中学考生所在的考场，25名考生竟无一人得满分。所以，我们在平时的数学教育教学中，既要教书，更要注重育人，使学生养成准确计算，审题严密，表达规范，思维和书写同步进行等良好的学习习惯，注意发展他们的优良的学习品质。

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