数学逻辑推理题31（猴子和桃子）

　　有5只猴子在海边发现 一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子最早来到,它左分右分分不开,就朝海里扔了一只,恰好可以分成5份,它拿上自己的一份走了.第 2,3,4,5只猴子也遇到同样的问题,采用了同样的方法,都是扔掉一只后,恰好可以分成5份.问这堆桃子至少有多少只？

　　【解答】这堆桃子至少有3121只。

　　第一只猴子扔掉1个，拿走624个，余2496个；

　　第二只猴子扔掉1个，拿走499个，余1996个；

　　第三只猴子扔掉1个，拿走399个，余1596个；

　　第四只猴子扔掉1个，拿走319个，余1276个；

　　第五只猴子扔掉1个，拿走255个，余4堆，每堆255个。

　　如果不考虑正负，-4为一解

　　考虑到要5个猴子分，假设分n次。

　　则题目的解: 5^n-4

　　本题为5^5-4=3121.

　　设共a个桃，剩下b个桃，则b=(4/5)((4/5)((4/5)((4/5)((4/5)(a-1)-1)-1)-1)-1)-1)，即b=（1024a-8404）/3125 ; a=3b+8+53*(b+4)/1024，而53跟1024不可约，则令b=1020可有最小解，得a=3121 ,设桃数x,得方程

　　4/5{4/5{4/5[4/5(x-1)-1]-1}-1}=5n

　　展开得

　　256x=3125n+2101

　　故x=(3125n+2101)/256=12n+8+53*(n+1)/256

　　因为53与256不可约,所以判断n=255有一解.x为整数,等于3121

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