《趣味物理学》在线阅读——第8章 光的反射和折射（10-17）(3)

8.12　什么时候走长的路比短的路更快？

　　那么，难道说走折曲的路径比走直线能够更快地到达目的地吗？是的，如果全程各段的行进速度不一样，那情形的确是这样。

　　举例来说，假定有一个人住在两个火车站之间，而离一个火车站很近。他想尽快走到比较远的那个车站上去，他会骑马向反方向走到比较近的车站，在那里搭上火车到他的目的地去。从他的村庄到他的目的地，如果一直骑马前去，走的路会近一些，但是他宁愿骑马搭火车走一段比较长的路，原因是这样走会比较快到达目的地。在这里，走长的路就比走短的路更快。

　　现在不妨再花一分钟时间看一看另外一个例子。一位骑马的通讯员，要从A点把一份报告送到C点的司令官那里。在他和司令官帐幕之间隔着一片沙地和一片大草地，沙地和草地的分界线是一条直线EF。马在沙地里走是很困难的，这儿的速度只等于在草地上速度的一半。问：为了尽快把报告送到，这位骑马的通讯员应该选择怎么样的路线？

　　初看最快的路径自然应当是从A到C的直线。但这是完全错误的，而且我也不相信会有走这条路径的通讯员。沙地上难走他是明白的，这使他正确地考虑到难走的沙路应该越短越好，就是越过这沙地的路线应该越斜得少越好；当然，这样做会加长了越过草地上的路；但是在草地上可以走得比较快，速度等于沙地的两倍，因此路长一些也还是有利的，使得全程可以在较短时间里走完。换句话说，他走的路线应该在沙地和草地的分界线上拆曲，使草原上所走的路线跟分界线的垂线所成的角，比沙地上所走的路线跟这垂线所成的角大。

　　懂几何学的人，可以用勾股弦定理算出直线AC果然不是最快的路线，如果照我们这里图上所画的尺寸来说，假定我们沿AEC折线行进的话，可以更快到达目的地。

　　图102上注明，沙地阔2公里，草地阔3公里，BC长7公里。于是按照勾股弦定理，AC的全长就是是等于3.44公里。由于沙地上行进速度只等于草地上的一半，3.44公里的沙路就得花上草地上走6.88公里的时间。因此，走完全长8.60公里的AC直线的路程所要花的时间，等于在草地上走12.04公里所花的时间。

　　现在我们给折线路程AEC也来做一次同样的计算。折线的AE部分是2公里，所花的时间等于在草地上走4公里的时间；EC部分的时间相当于在草地上走4+7.61=11.61公里。 

　　照这样说，看起来比较“短”的直路，实际上相当于在草地上走12.04公里，而比较“长”的折线路却一共相当于在草地上走11.61公里。你看，比较“长”的路竟要比那比较“短”的路近12.04－11.61=0.43公里，就是大约近半公里！我们这里还没有指出最快的路线。理论告诉我们，最快的路线应该是（这儿得找三角学来帮忙了）使b角的正弦跟a角的正弦间的比（sinb：sina）等于草地上速度踉沙地上速度间的比，就是2∶1。换句话说，要选最快的路线，一定要使sinb等于sina的两倍。这样跨过分界线的M点，应该离E一公里。

　　那时候

　　sinb和sina的比是：

　　就是恰好等于两个速度的比。

　　那么，这全部路程换算做在草地上走的路程，等于多长呢？试演算一6.70公里。全程长4.47＋6.70=11.17公里，就是要比直线路程短0.87公里，因为我们已经知道那直线路程的长度是相当于草地上12.04公里的。

　　这儿你可以看见，在本题所说的条件下，把行进路线屈折是比依直线走更有利的。光线就正是选择了这样的捷径，因为光的折射定律就完全适合解答这个题目的一切数学上的要求的：折射角的正弦跟入射角正弦的比，恰好等于光在新的介质里的速度跟它在原来的介质里的速度的比；从另一方面来说，这个比值就是光在这两种介质间的折射率。

　　把光的反射和折射的定律结合到一起，我们就可以说光线在不管什么情形下都是依最快的路径行进的，这在物理学上就叫“最快到达的原理”（费马原理）。

　　假如介质不是均匀的，它的折射能力是逐渐改变的，例如在大气里——在这种情形下，仍旧是合于最快到达的原理的。这可以解释从天体来的光线在大气里稍微折射的现象，这种折射天文学家叫“大气折射”。大气的密度是向下层逐渐加大的，在这样的大气里，光线的折射路线是凹向地面的，这样光线在上层空气里走的时间比较久，因为那里它可以走得更快些，而在不容易走快的下层里走的时间比较短；结果它就会比沿直线路径更快地到达目的地。

　　最快到达的原理（费马原理）不只在光的现象适用，对于声的传播以及一切波动也完全适用，不管波动是属于哪一种类的。

　　读者一定很想知道，波动的这种特性是怎样解释的。这种特性在最近的物理学理论上，起了很大的作用。因此我把现代物理学家薛定谔对于这一点的解释①介绍在下面。

　　从方才谈的兵士行进的例子出发，而且假定光线是在密度逐渐改变的介质里行进，现代物理学家说：

　　假定兵士都握着一根长杆子，使得队伍的正面能够保持整齐。现在司令员下令用全速跑步前进！假如地面的情形是逐渐改变的，比方说，起初队伍的右翼移动得比较快，以后左翼才跟了上去——这样队伍的正面就自然而然会转了过去。这里我们就可以看出，他们所走的路径就不是直线而是曲折了的。至于这条路径在时间上应该是最快到达目的地这一点，那是很明显的，因为每个兵士都是用最大速度在跑的。

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