2019年中考数学趣味数学：抽屉原理和六人集会问题

;任意367个人中，必有生日相同的人。;

;从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。;

;从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。;

......

大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢?这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为：

;把m个东西任意分放进n个空抽屉里m>n)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。;

在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，...，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。

抽屉原理的一种更一般的表述为：

;把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉k是正整数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。;

利用上述原理容易证明：;任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。;因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：

;把无限多个东西任意分放进n个空抽屉n是自然数)，那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。;

抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：

;证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。;

这个问题可以用如下方法简单明了地证出：

在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线;否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条不妨设为BC)也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。#p#分页标题#e#

六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，又一次看到了抽屉原理的应用。

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