2019中考数学为蚂蚁找捷径

今天，我带大家去帮蚂蚁的忙，为它找捷径。大家知道捷径怎么找吗?我们可借助长方体(或圆柱体)的侧面展开图，通过运用勾股定理、两点之间线段最短等数学知识来解决这个问题。

例1. 如图1，长方体的高为3cm，底面是正方形且边长为2cm。现有一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面到达C点，蚂蚁行走的最短路线的长是()

A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm

图1

分析：这类问题的解法通常都是将几何体表面展开，求展开图中有关两点之间的最短距离。大家一定要注意展开图中点的相应位置。本题可将该长方体的右表面翻折至前表面，使得A、C两点共面，如图2，连接AC，此时线段AC的长度即为最短路线的长(假如把上表面翻折至前表面，这时线段AC的长度是否为最短?请同学们考虑一下、比较一下)。

图2

解：因为

所以蚂蚁行走的最短路线的长是5cm。选B。

例2. 如图3，有一个圆锥，其高为8cm，底面直径为12cm。在圆锥的底面圆周上B点有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶点A处的食物，则它沿圆锥表面需要爬行的最短路程是()

A. 8cm B. 9cm C. 10cm D. 11cm

图3

分析：要求蚂蚁需要爬行的最短路程，由两点之间线段最短可知，线段AB的长就应当是蚂蚁爬行的最短路程。可设圆锥底面的圆心为O，连接OA、OB、AB，则可构成一个直角三角形，利用勾股定理即可求出AB的长。

解：设圆锥底面圆心为O，连接OA、OB、AB，则△ABO是一个直角三角形，如图4，且 。

故

故蚂蚁需要爬行的最短路程是10cm。选C。

图4

例3. 如图5，圆柱体的底面周长为24cm，高为5cm，BC为底面直径。一只蚂蚁从点A出发一直沿着圆柱体的侧面爬行到点C，它爬行的最短路程是()

A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm

图5

分析：假设把这个圆柱体的侧面沿着AB剪开，摊平，连接AC，如图6，则A、C两点间的最短路线的长就是线段AC的长，也即为蚂蚁沿侧面爬完全程的最短路线的长。由题意可知AB=5cm，BC等于底面圆周长的一半，即BC=12cm。#p#分页标题#e#

图6

故在Rt△ABC中， 。故蚂蚁爬行的最短路程是13cm。选C。

注：如果可以沿底面爬行，则沿A

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