2019年中考数学蚂蚁觅捷径

蚂蚁觅捷径;问题，融知识性和趣味性于一体，有利于提高同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神。现选取几例供大家参考。

例1 如图1，一只蚂蚁要从棱长为1的正方体的一个顶点A沿着表面爬到与它相距最远的另一个顶点G。蚂蚁爬行的最短路程是多少?

图1

分析解答：解答;蚂蚁觅捷径;问题最关键的就是确定最短爬行路线。对于本题，有的同学可能会认为最短路程是 或 等。这些都是错误的。

本题要求同学们展开自己的空间想象能力，把正方体沿FG、GC、BC剪开，使面BCGF与面ABFE在同一个平面内，如图2所示，你会发现最短路程就是 的斜边AG之长两点之间线段最短)。利用勾股定理易得 ，所以蚂蚁爬行的最短路程为 。

图2

不过，路线可不止一条，你还能再找出来吗?

不难发现，若正方体的棱长为a，最短路程就是 。当蚂蚁在正方体内时，最短路线有6条，它们都同样是 。

例2 如图3，一只蚂蚁从长、宽、高分别为5，4，3的长方体的一个顶点A沿着表面爬行到与之最远的另一个顶点G，最短路程是多少?

图3

分析解答：通过解答例1给的启发，对此问题，将有六种方式对长方体表面进行剪开铺平求解。究竟哪条线路最短，下面逐一解答再比较。

1)剪开FG、GC、CB铺平得 。

2)剪开HG、GC、CD铺平得#p#分页标题#e# 。

3)剪开EF、FG、GH铺平得 。

4)剪开FB、FG、CG铺平得 。

5)剪开FG、GH、HE铺平得 。

6)剪开DH、HG、GC铺平得 。

因此最短路程为 ，这样的路线有两条。

由此知道，若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且 时，最短路程就是 。

例3 如图4，一只蚂蚁绕圆柱一周从母线AB的端点A爬到B点。若圆柱的高为 ，底面半径为2，求蚂蚁爬行的最短路程。

图4

分析解答：将圆柱侧面沿母线AB剪开展平得图5，则蚂蚁沿图5中的路线AB;爬行是最短路线。在 中， ，由勾股定理得 。这样的路线有两条。

图5

想一想，如果蚂蚁从图4中的A点出发，沿圆柱侧面爬到上底面的C点，你能求出最短路程吗?这样的路线有几条?

例4 如图6，一个圆锥底面半径为10，母线长为30，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面爬行一周回到A点，所走过的最短路程是多少?

图6

分析解答：把圆锥的侧面沿母线AB剪开再展平得图7，则所求最短路线就是图7中线段#p#分页标题#e# 的长度。

图7

因为

所以 。

在Rt△ABC中，已知 ， ，

由三角函数知识或勾股定理均可得到 。其路线有两条。

例5 如图8，已知圆锥底面半径为5，母线长为20。一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面绕行一周到母线AB中点C处，它爬行的最短路程是多少?

图8

分析与解答：将圆锥的侧面沿母线AB剪开再展平得图9，则所求长度为图9中AC的长。

图9

在△ABC中， 。

已知 ，根据勾股定理得 。路线同样有两条。

想一想，当其条条件不变，如果∠ABC是锐角或钝角，你能求出最短路程吗?如果告诉圆锥底面半径和高，你还能求出最短路程吗?不妨试一试。

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