2019年中考数学用整体思想法解数学题

例1 分解因式

分析：若把两个二次三项式

与

相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。但若把

或

)视为一个整体，即把

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看成一个新变元t，原式就变形为关于t的二次多项式，问题就容易解决了。

解：设

，则

原式

再将

代入上式

原式

说明：由上例可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。#p#分页标题#e#

例2 解方程

解：设

，则原方程可变为

解得

，

当

时，解得

;当

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时无解

经检验，

是原方程的解。

说明：本题是把

看成一个整体，恰当换元，才能化繁就简。

例3 计算

解：设

，则

原式

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说明：这是一类规律探索型问题，看似复杂吓人，若掌握了整体换元思想，并不难解。

例4 已知

和

成正比例其中m、n是常数)

1)求证：y是x的一次函数;

2)如果

时，

;

时，

#p#分页标题#e# ，求这个函数的解析式。

解：1)因

与

成正比例，故可设

整理可得

因

，

、

为常数，所以y是x的一次函数。#p#分页标题#e#

2)由题意可得方程组

解得

，

.

故所求的函数解析式为

。

说明：在解方程组时，单独解出k、n、m是不可能的，也是不必要的。故将

看成一个整体求解，从而求得函数解析式。

例5 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元;若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元?

分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决。

解：设购甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元。

依题意，得

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，即

解关于

，

的二元一次方程组，可得

元)

答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元。

说明：由于所感兴趣的不是x、y、z的值，而是

这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果。

练习：

1. 分解因式

。#p#分页标题#e#

2. 解方程

。

3. 设y与x的函数关系式为

k、a、b为常数)，且

时，y=19，x=3时，y=20。求此函数的解析式。

4. 已知

，求代数式

的值。

5. 一个四位数，其首位上的数字为1，若把首位移作末位，则新的四位数是原数的4倍还多1995，试求原来的四位数。

6. 甲、乙两人相距

100km

，两人同时出发，相向而行，甲每小时走

6km

，乙每小时走

4km

;甲带的一只狗，同甲一起出发，每小时走

10km#p#分页标题#e#

，碰到乙时它往甲方向走，碰到甲时它又往乙方向走，如此连续往返，到甲、乙两人相遇时，这只狗一共走了多少千米?

7. 有大小两种货车，2辆大车和3辆小车一次可运货15.5t，5辆大车和6辆小车一次可运货35t，求3辆大车和5辆小车一次可运货多少吨。

参考答案及提示：

1.

2.

，

。

3.

4. 5

5. 设原来的四位数去掉首位的后三位数为x，则原来的四位数可表示为

，新四位数可表示为

，由题意得#p#分页标题#e#

，解得x=999，故原来的四位数为1999。

6. 由出发时起，直到甲、乙相遇为止，小狗以每小时

10km

的速度跑了

，因此小狗一共走了

的路。

7. 设1辆大车与1辆小车一次可以各运xt、yt，则有

，得

，即有

即3辆大车和5辆小车一次可运货24.5t。 -

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