2019年中考数学一道解《多边形的内角和》题型的十种解法

在一次《多边形的内角和》的课堂上，有一个教学环节是这样设计的：让学生思考任意一个四边形的内角和是多少?用这种方法能否求五边形、六边形等多边形的内角和?[1]而在课堂上，同学们给出了许多种求四边形内角和的方法，虽然有的方法不太适合推广到五边形、六边形，但其中不乏有课前我没有意料到的方法，当然我也没想到学生们会有如此多的方法。为了不打断学生的想法，给学生一个展示自我的机会，更为了拓展学生的思维，我抓住了这一难得的机会，充分让学生展示他们活跃的思维，而把预先准备的一些内容放到了下一节课。我不知道这样做好不好，但至少有一点，学生们主动地进行了观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，这是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，增强了学生学习数学的兴趣，使不同的人在数学上得到了不同的发展[2]。下面就一一列举学生们的解法，其中解法一～解法五是预先设计的。

解法一：如图1，连接AC，四边形ABCD的内角和等于两个三角形内角和的和，即180°×2=360°。

解法二：如图2，连接AC、BD，四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360°，即180°×4-360°=360°。

解法三：如图3，在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360°，即180°×4-360°=360°。

解法四：如图4，在BC边上取一点P，连接PA、PD，四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180°，即180°×3-180°=360°。

解法五：如图5，在四边形ABCD外取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180°，即180°×3-180°=360°。

解法六：如图6，连接BD，延长BA至E，延长BC至F，∵∠EAD=∠ABD ∠BDA，∠FCD=∠CBD ∠BDC，∴四边形ABCD的内角和等于(∠EAD ∠BAD) (∠FCD ∠BCD)=180° 180°=360°。

解法七：如图7，过点A、D分别作BC的平行线AE、DF，则∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADF，∠CDF=∠C，∴四边形ABCD的内角和等于∠BAD ∠EAB (∠CDF ∠CDA)=∠BAD ∠EAB ∠ADF =∠BAD ∠EAB ∠EAD =360°。

解法八：如图8，过点A、D分别作BC的垂线AE、DF，垂足分别为E、F，过点A作DF的垂线AG，垂足为G，则∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°，∵∠AEC=∠B ∠BAE，∠DFB=∠C ∠CDF，∠AGF=∠DAG ∠ADF，∴四边形ABCD的内角和等于∠AEC ∠DFB ∠AGF ∠EAG=90°×4=360°。 #p#分页标题#e#

解法九：若AB//CD，则∠B ∠C=∠A ∠D=180°，∴∠B ∠C ∠A ∠D=360°;若AB不平行于CD，如图9，不妨设BA、CD的延长线相交于点E，∵∠BAD=∠E ∠ADE，∠ADC=∠E ∠EAD，∴∠B ∠C ∠BAD ∠ADC=(∠B ∠C ∠E) (∠ADE ∠E ∠EAD) =180° 180°=360°。综上可得，四边形ABCD的内角和等于360°

解法十：连接AC，并延长至G，过点C分别作AD、AB的平行线CE、CF，则∠D=∠DCE，∠DAC=∠ECG，∠BAC=∠FCG，∠B=∠FCB，∴四边形ABCD的内角和=∠B ∠BAC ∠CAD ∠D ∠BCD =∠FCB ∠FCG ∠ECG ∠DCE ∠BCD =360°。

以上这些证法中，充分发挥了学生的想象力、综合运用知识的能力，很好地训练了学生的思维，体现了“转化”这一重要数学思想方法地灵活运用，这一点对学生的发展很重要，而这也是新课程标准所倡导的。这堂课可能是一节不合格的课，但我还是希望我们数学老师能在课堂上不断探索、试验，大胆创新，只要我们本着新课程的理念，本着以学生的发展为本，相信中国数学教育的未来一定会取得辉煌的成绩。

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