初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线知识点(6)

　　3.由中点想到的辅助线

　　在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

　　(1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

　　即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

　　例1如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

　　(2)倍长中线

　　已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。如图，延长AD到E，使得AD=AE，连结BE。

　　4.其他辅助线做法

　　(1)延长已知边构造三角形

　　在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．

　　例4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．

　　延长AD、BC交于F，

　　∵∠DAE+∠AED=90°，∠CBE+∠BEC=90°，∠AED=∠BEC，

　　∴∠DAE=∠CBE，

　　又∵∠ACF=∠BCE=90°，AC=BC，

　　∴△ACF≌△BCE，

　　∴BE=AF，

　　∵∠ABD=∠FBD，∠ADB=∠FDB=90°，BD=BD，

　　∴△ABD≌△FBD，

　　∴AD=FD=1/2AF，AD为a

　　∴BE=2a

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