一、知识框架
二、知识梳理与拓展应用
（一）函数
1．常量与变量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫作变量，数值保持不变的量叫作常量。如：在行程问题中，当速度υ保持不变时，行走的路程s与时间t是变量，速度v是常量。
关键提醒：
(1)变量和常量往往是相对的，相对于某个变化过程，比如s、v、t三者之间，在不同的研究过程中，作为变量与常量的身份是可以相互转换的。
(2)常量、变量与字母的指数没有关系，如
S＝πr2中，不能说自变量是r2
2．函数的概念
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于π的每一确定的值，都有唯一确定的值ν与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。当x＝a时，y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值。
关键提醒：
对函数概念的理解，主要应该抓住以下三点：
①有两个变量。
②一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化。
③每确定一个自变量的值，函数有且只有一个值与之对应(但可以有多个自变量数值对应一个函数值)。
3．自变量取值范围的确定
在整式中，自变量为全体实数；分式中满足分母不为零；开偶次方根满足被开方数是非负数；在零指数幂中，底数不为零；在实际问题中，要满足实际的意义。在具体问题中，一般要综合上述几种情况同时考虑。
关键提醒：
自变量的取值范围可能是有限的，也可能是无限的，还可能是单独个(或几个)数的；在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分。
4．函数的表示方法
数的表示方法有三种：解析法、列表法和图像法。
(1)解析法：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种表示方法叫作解析法。
关键提醒：
解析法的优点是简单明了的反映自变量与因变量的关系，不足是有的函数关系不一定能用解析法表示出来。
(2)列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫作列表法。
关键提醒：
列表法的优点是一目了然，使用方便，不足是其列出的对应值是有限的，而且从表中不易看出自变量和函数之间的对应规律。
(3)图像法：用图像表示函数关系的方法叫作图像法。
关键提醒：
图像法的优点是形象直观，不足是图像是近似的、局部的。
5．函数的图像
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。
关键提醒：
①：函数图像上的点(x，y)与函数自变量x及对应函数值y的关系函数图像上任意一点P(x，y)中的x和y的值满足函数关系式；满足函数关系式的x与y构成的点(x，y)必定在函数图像上。
②：判断点(x，y)是否在函数图像上的方法是：将点的坐标(x，y)代入函数关系式，即自变量等于横坐标x，函数值等于纵坐标y，如果满足函数关系式，则这个点就在函数图像上，否则这个点就不在函数图像上。
（二）一次函数
1．一次函数和正比例函数的概念
(1)一次函数：一般地，形如y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，且k≠0)，y叫作x的正比例函数，由此可以看出，正比例函数是一种特殊的一次函数。
知识拓展：
自变量的取值范围是任意实数；k≠0这个条件不可忽略。
2．一次函数解析式的求法
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知系数的值，从而具体写出这个式子的方法，叫作待定系数法。
关键提醒：
(1)在正比例函数y＝kx(k≠0，且k为常数)中，只有一个待定系数，所以确定正比例函数的解析式只需要一个条件即可。
(2)在一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)中，有两个待定系数k和b，因此确定一次函数的解析式需要两个条件。
(3)要求k和b也可以利用图像、文字信息建立k和b的二元一次方程组，求出k和b即可求出一次函数解析式。
3．从实际问题中确定一次函数的解析式(重点)
确定实际问题中的函数解析式一般与列方程解应用题类似。首先根据题意列出关于两个变量的二元一次方程，再用含有自变量的式子表示函数，建立函数关系式时，要注意自变量的取值范围。
4．一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图像及性质，如表1所示。
表1
5．正比例函数y＝kx(k≠0)图像与一次函数图像的关系
（1）将直线y＝kx沿y轴向上(或向下)平移|b|个单位，得到y＝kx＋b的图像，当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移。
（2）直线y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的关系：当k1＝k2，b1≠b2时，两直线平行；当k1≠k2时，两直线相交；当k1＝k2，b1＝b2时，两直线重合。
6．一次函数的应用
一次函数是刻画现实世界事物间关系的简单数学模型，其应用非常广泛。如现实生活中的电费、水费、电话费、纳税、储蓄、行程、工程等问题，它们都是应用一次函数很好的实例。解决这类问题，常常根据题目所提供的信息，建立一次函数关系式，然后根据一次函数的性质，并综合运用一次方程和一元一次不等式等知识解决问题。
7.一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标的值。
关键提醒：
在一次函数y＝kx十b中，y如果等于某一个确定的值，求自变量x的值，就要解一元一次方程。
8．一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为
ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于(或小于)0时，求自变量相应的取值范围。
知识拓展
解一元一次不等式可转化为比较直线上点的位置的高低
9．一次函数与二元一次方程组
一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。
（三）运用一次函数解决方案选择问题
运用一次函数解决实际问题中方案的选择问题，实际上是比较两个函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的函数值大小的问题。
比较y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的函数值大小的常见方法有两种：代数法和图像法。
关键提醒：
两个函数的图像在同一坐标系中，图像在交点处时，两个函数中横纵坐标值分别相等。哪一段图像在上方，则在这一段，哪个图像对应的函数值就大；反之亦然。
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