2022年初中数学公式：方差公式

一.方差的概念与计算公式

例1两人的5次测验成绩如下：

X：50，100，100，60，50E(X)=72;

Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。

平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为D(X)：

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动

二.方差的性质

1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动);

2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);

证：

特别地D(-X)=D(X)，D(-2X)=4D(X)(方差无负值)

3.若X、Y相互独立，则

证：记

则

前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为

当X、Y相互独立时，

，

故第三项为零。

特别地

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)

方差公式：S²;=〈(M-x1)²;+(M-x2)²;+(M-x3)²;+…+(M-xn)²;〉╱n

三.常用分布的方差

1.两点分布

2.二项分布

X~B(n，p)

引入随机变量Xi(第i次试验中A出现的次数，服从两点分布)

，

3.泊松分布(推导略)

4.均匀分布

另一计算过程为

5.指数分布(推导略)

6.正态分布(推导略)

7.t分布：其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F(m，n)，E(X)=n/(n-2);

~

正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。

例2求上节例2的方差。

解根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

方差的定义：

设一组数据x1，x2，x3······xn中，各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)²;，(x2-x拔)²;······(xn-x拔)²;，那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)²;+(x2-x拔)²;+·····(xn-x拔)²;】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

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