2022年初中数学实际问题中的不等式组

一、不等关系明显型

此类问题的特点是在题目中会出现明显的表示不等关系的关键字，如“大于”、“小于”、“不能超过”、“不少于”、“最多”等。

例1 (哈尔滨市)双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若销售一件A型服装可获利18元，销售一件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总获利不少于699元，问有几种进货方案?如何进货?

分析：由题意，本题不等关系非常明显，由两个表示不等关系的关键字即可看出，即“最多”和“不少于”，因此要解决本题我们可以直接根据这两个关键字列出不等式组。

解：设B型服装购进x件，则A型服装购进件，根据题意，得

解得

因为x为整数，所以x=10、11、12

所以、26、28

所以有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件或B型服装购进11件，A型服装购进26件;B型服装购进12件，A型服装购进28件。

例2 (连云港市)光明农场有某种植物10000千克，打算全部用于生产高科技药品和保健食品。若生产高科技药品，1千克该植物可提炼出0.01千克的高科技药品，将产生污染物0.1千克，每1千克高科技药品可获利润5000元;每生产1千克保健食品可获利润100元。1千克该植物可生产0.2千克保健食品，将产生污染物0.04千克。要使总利润不低于410000元，所产生的污染物总量不超过880千克，求用于生产高科技药品的该植物重量的范围。

分析：由题意很容易发现体现本题不等关系的两个关键字，即“不低于”和“不超过”，因此我们就根据这两个关键字列出不等式组把问题解决。

解：设用于生产高科技药品的该植物重量为x千克，则用于生产保健食品的该植物重量为(10000-x)千克，根据题意，得

解得

所以用于生产高科技药品的该植物重量不低于7000千克且不高于8000千克。

二、不等关系隐含型

此类问题的特点是题目中没有出现表示不等关系的关键字，因此不等关系比较含蓄，需要我们从题意中分析得到。

例3 (广东省茂名市)今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨。

(1)该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来。

(2)若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案使运输费最少?最少运输费是多少?

分析：本题没有明显的不等关系，但是从题意可知本题是一个最优方案设计问题，因此可以建立不等式组模型来解决问题。由题意，本题的不等关系为：10辆甲、乙两种货车的运货总量至少要达到30吨荔枝，13吨香蕉。

解：(1)设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车(10-x)辆，根据题意，可得

解得5小于等于X大于等于7

因为x为整数，所以x=5、6、7，

所以5、4、3。

所以车辆安排有三种方案：

方案一：甲种车、乙种车各5辆;

方案二：甲种车6辆、乙种车4辆;

方案三：甲种车7辆、乙种车3辆。

(2)方案一，要运输费：

元

方案二，要运输费：

元

方案三，要运输费

元

这说明，方案一所需运输费最少，为16500元。

例4 (常州市)七(2)班有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36千克，乙种制作材料29千克，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表：

需甲种材料 需乙种材料

1件A型陶艺品 0.9千克 0.3千克

1件B型陶艺品 0.4千克 1千克

(1)设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围;

(2)请你根据学校现有材料，分别写出七(2)班制作A型和B型陶艺品的件数。

分析：本题题目中没有出现明显的表示不等关系的字，所以不等关系比较隐含，分析题意可发现，制作两种型号的陶艺品的材料已给出限制，所用材料不能超过这个限制，因此我们就可以根据总材料的限制来列出本题的不等式组。

解：(1)设制作B型陶艺品x件，则制作A型陶艺品为(50-x)件，由题意，得

解得

(2)由(1)知，又因为x为整数，

所以x=18、19、20，50-x=32、31、30

所以七(2)班制作A型和B型陶艺品的件数有三种可能：

可能一：制作A型陶艺32件，B型陶艺18件;

可能二：制作A型陶艺31件，B型陶艺19件;

可能三：制作A型陶艺30件，B型陶艺20件。

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