2022年初中数学利用轴对称求距离之和最短距离

已知：如下图，A、B两点是直线l同旁的两个定点

问题：在直线l上求一点P，使得PA+PB的值最小.

分析：作点A关于直线l的对称点A’，连结A’B，交直线于点P，此时PA+PB=A’B最小.证明过程很简单，在直线上再任取一点P’，P’A=P’A’，P’A+P’B=P’A’+P’B>A’B，所以点P是所求.

模型应用：

(1)如图，正方形ABCD边长为2，点E是边AB中点，点P是对角线AC上一点.则PE+PB的最小值是 .

(2)如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一点，则PA+PC的最小值是 .

(3)如图，直线AB与x轴交于点A(2，0)，与y轴交于点B(0,4)，点C、D分别是OA、AB的中点，P是OB上一点，求△PCD周长的最小值.

以上几题是模型1在不同题型中的运用，同学们如果能练成“火眼金睛”，善于在变化的条件中找到不变的数学模型，“以不变应万变”，就可以像孙悟空一样成为考场上的“斗战胜佛”.如果把模型1中的条件稍作调整，又可以得到它的一些推广模型.

答案：

推广1：

已知：如图，点P是∠AOB内一定点.

问题：分别在OA、OB边上找点M、N，使△PMN的周长最小.

分析：△PMN的周长=PM+MN+NP，可以利用作轴对称，把这三条线段转化为同一直线上的线段.如图，分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连结P’P’’，分别交OA、OB于点M、N，连结PM、PN，此时PM=P’M，PN=P’N，△PMN的周长=PM+MN+NP=P’P’’，此时周长最小.

模型应用：如图，点C(1,0)，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，则△CDE周长的最小值是

.

答案：10

推广2：

已知：点P、Q是∠AOB内部两定点.

问题：分别在直线OA、OB上找点M、N，使四边形PMNQ的周长最小.

分析：因为PQ的长度是定值，要使四边形PMNQ的周长最小，就是要使PM+MN+NQ的值最小.作点P关于OA的对称点P’，作点Q关于OB的对称点Q’，连结P’Q’，分别交直线OA、OB于点M、N，连结PM、MN、NQ，因为PM=P’M，QN=Q’N，所以四边形PMNQ的周长=PM+MN+NQ+QP=P’Q’+PQ，因为PQ是定值，而PM+MN+NQ的最小值为P’Q’的长度，所以此时四边形PMNQ的周长最小.

模型应用：在平面直角坐标系中，点A(-8,3)，点B(-4,5)，点C(0，n)，点D(m，0)，当四边形ABCD周长最短时，求m：n的值.

答案：

在变化万千的已知条件下，能够找到不变的规律，这与《易经》中阐述的“变与不变”的智慧相吻合.人类最高的智慧，就是“以不变应万变”，这也是数学学习的无敌法宝.

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