2023年初中数学三角形内接正方形常规解法

初中几何中，三角形内接四边形是经常考到的题型，一般是内接平行四边形、矩形、正方形等，常规思路是把要求的边长x设出来，利用相似三角形，构造关于x的方程，从而求出x的值。

例题：

如图，△ABC内接正方形DEFG，△AGF、△FEC、△BDG的面积分别是1、1、3，则正方形DEFG的边长为 _

(视频讲解在文末)

分析：按照常规思路，把正方形边长设为x，利用△AGF∽△ABC，高之比等于边长之比，构建关于x的方程解出x的值。

所以，

GF=x

BD=6/x

DE=x

EC=2/x

现在已经得到GF和BC的长，还需要另外一组对应边或者对应高之比。

题目中，△AGF的面积=△EFC的面积，GF=EF，可以得到△AGF中GF边上的高等于EC=2/x 。

那就可以利用△AGF∽△ABC，高之比等于GF与BC之比，构建关于x的方程求解。

现在讲解一下秒杀方法，对于三角形内接平行四边形问题，平行线分割成的三部分面积有一个等量关系。

感兴趣的同学思考下如何证明!

(提示：相似三角形面积之比等于相似比的平方)

这个题就可以采用上面介绍的方法秒杀。

过点G做GH平行AC，交BC边于点H

易证△GDH≌△FEC，

则△BGH的面积为1+3=4

平行四边形GHCF的面积=2×√(1×4)=4

正方形GDEF的面积=平行四边形GHCF的面积=4

所以正方形边长为2

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