2023年初中数学三角形的解题方法

一、相似、全等的关系

全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别;相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.

二、相似三角形

(1)三角形相似的条件：

①;②;③.

三、两个三角形相似的六种图形：

四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单;

2)再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例;

3)若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例;

五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法

例1、已知:如图,ΔABC中,­CE⊥AB,BF⊥AC.

求证:

例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的

平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗?

说明理由。

分析方法：

1)先将积式______________

2)______________( “横定”还是“竖定”? )

六、过渡法(或叫代换法)

有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明.

1、 等量过渡法(等线段代换法)

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2=BE·CE.

分析：

1、 等比过渡法(等比代换法)

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.

求证：

3、等积过渡法(等积代换法)

思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例;若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量(线段)代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似;

不相似，不用急：等线等比来代替。”

七、证比例式和等积式的方法：

对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明.

可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系; 三点定形用相似，三点共线取平截;

平行线，转比例，等线等比来代替; 两端各自找联系，可用射影和园幂.

例1　如图5在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF⊥AB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG/FA=FB/FH(2)FD是FG与FH的比例中项.

1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似.找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换

八、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”;第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”;第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。

九、相似三角形中的辅助线

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、作平行线

二、作延长线

三、作中线

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