2023年初中数学分式的运算

分式约分的主要步骤

(1)分子分母分解因式

(2)约去分子分母所有公因式

(3)化简为最简的分式或整式

就像篮球投进篮筐，需要你遵循最省力、最不易错的方式。你并非天生就能掌握这种感觉，需要你反复调整动作。

做数学题也一样，要通过训练去培养不易错的解题思路，最大限度节省脑力。否则会遇到乱用脑力，导致脑力耗尽，最终无法在有限时间内答完或做对题目。

要为一次性做对不断积累自己的经验，共勉。

2.基本技巧

2.1.互有比例，统一未知数

例题：已知a2=b3=c4，求2a2−3bc+b2a2−2ab−c2

多个未知数，任意两个都存在比例关系时，统一为一个未知数。

解：设a2=b3=c4=x，则a=2x,b=3x,c=4x

2a2−3bc+b2a2−2ab−c2=2×4x2−3×12x2+9x24x2−2×6x2−16x2=−19x2−24x2=1924

2.2.先化简、再代入

例题：已知x=a+1a−1，则x+1x等于?

下意识的，先对要求的式子进行化简：x+1x=1+1x

此刻，就只需要带入一个1x，易得：1+1x=1+a−1a+1=2aa+1

2.3.熟记公式，最后带入数值

例题：当x=2022,y=1949时，代数式x4−y4x2+2xy+y2⋅x+yx2+y2的值为?

乍一看，右边的代数式很唬人，但是我们还是本着先化简的原则。先用平方差公式转化x4−y4：

原式=(x2+y2)(x2−y2)x2+2xy+y2⋅x+yx2+y2，约分得

原式=x2−y2x2+2xy+y2⋅x+y1再用平方差公式转化x2−y2，采用完全平方公式转化x2+2xy+y2

原式=(x+y)(x−y)(x+y)2⋅(x+y)=x−y

然后再带入数值，得原式：x−y=2022−1949=73

这里要提到严伯钧在老师那里学到的避免马虎的方法：代数的部分先完成，最后再带入数字。既可以让思维连贯，又可以在大题中多得分。

2.4.向已知条件凑拢

例题：已知a+b+c=0，则a(1b+1c)+b(1a+1c)+c(1a+1b)的值是?

看右边这个代数式如此复杂，肯定是要先通分找找思路的，故通分，得：

原式=a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2abc

由于我们只有已知的a+b+c=0，解题都是由已知推未知，我们先向着这个式子靠拢，起码要凑这个式子。

由于问题是求这个式子的值，不是化简这个式子。肯定分子可以变成n⋅abc的格式，故上面要凑这个格式。

由这两个条件去构造，确实需要费点心思的。几次尝试后就可以得出：

原式=a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2abc

原式=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)abc

原式=ab(a+b+c−c)+ac(a+b+c−b)+bc(a+b+c−a)abc

原式=ab(a+b+c)−abc+ac(a+b+c)−abc+bc(a+b+c)−abcabc

因为a+b+c=0，所以上式可以化简成：

−3abcabc=−3

2.5.通分时，把剩余部分看做整体

例题：化简a2a−1−a−1

我们第一反应就是通分，但是把什么看做整体也很重要，我们要通分就一趟搞定，别做零碎的计算。

这里，我们要把右边的式子看做整体：

原式 =a2a−1−(a+1)

原式 =a2a−1−(a+1)(a−1)a−1

原式 =a2−a2+1a−1

原式 =1a−1

此法可以减少通分失误

2.6. 直接带入困难，发掘已知条件

例题：已知x2−5x+1=0求x4+1x4的值

首先我们看右边的式子不算复杂，是不是化简带入就可以。然后我们去看一下左侧的式子解x是个什么值。发现x的根为：5±212，我们初步否定这种计算量的大的方案，开始思考右边的代数式有何特征。

我们发现：x4+1x4=(x2+1x2)2−2

又一想，其实：x2+1x2=(x+1x)2−2

这样就忍不住去想，若能直接获得一个x+1x就省事了，观察一直的式子，可以发现，x2−5x+1=0除以一个x就可以得到：

x+1x=5

按照已经发现的规律，最终求出：代数式的值为 527.

本题中，我们需要挖掘已知条件，让两个式子产生联系。挖掘代数式的核心，然后再视一个代数式为整体去思考如何解题。其实我们潜移默化中使用了换元法，好似令t=x+1x。

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