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2023年初中数学二次函数基本概念和图像上特殊点

来源:网络资源 2022-10-14 13:28:25

中考真题

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以下是其基本概念和图像上特殊点。

常见三种形式。

  1. 一般式: y=ax2+bx+c
  2. 顶点式: y=axh2+k
  3. 两根式: y=axx1)(xx2)

(其中两根式当二次函数和x轴没有交点的时候不存在,此时可以采用更为一般的 对称点式y=axx1)(xx2)+m ,相当于函数 y=axx1)(xx2) 和直线y=m的两个交点,m为足够大的数)

其中出现过的字母有

a:二次项系数,在三个表达式中都出现过。代表开口大小。

b:一般式的一次项系数。

c:常数项系数

h:顶点式中顶点x坐标

k:顶点式中顶点y坐标

(此处会注意到为什么h前面是有负号,而k前面没有,如有疑惑,请看下面链接)

x_1: 两根式其中一个根

x_2:两根式其中另一个根

 

以下我以开口向上且和x轴有两个根的二次函数为例,介绍下三个表达式的联系以及适用范围。

如下图为例子:

 

(实际函数为一般式: y=x24x+3 或者写成顶点式: y=(x2)21 两根式: y=(x1)(x3) )

我们先认为 x1<x2

那么可以得到几个点的坐标。

A=(x1,0)

B=(x2,0)

C=(0,c)

F=(0,h)

G=(h,k)

 

在此可以注意到,

  1. 三个式子里面都有a。

2. b未出现,c是和y轴交点坐标属于一般式的。

3. h,k是属于顶点式的。(h,k)就是顶点坐标。

4. x1,x2 是属于两根式的。分别是和x轴的两个交点。

但既然同一个二次函数可以用三种方式来表达。那么很显然,三者之间必定存在关系,以及能够相互转化。

(其实上面说法不准确,对于和x轴没有交点的无法采用两根式)

 

  1. 一般式和顶点式

将一般式化成顶点式(这是任何情况下都成立的)

y=ax2+bx+c

y=a(x2+bax)+c

y=a(x2+bax+(b2a)2(b2a)2)+c

y=a(x2+bax+(b2a)2)a(b2a)2+c

y=a(x+b2a)2a(b2a)2+c

y=a(x+b2a)2+4acb24a

通过对比 y=axh2+k 可以发现

h=b2a

k=4acb24a

 

2. 一般式和两根式

由, y=a(x+b2a)2+4acb24a

令y=0

就能得到一元二次方程的求根公式

0=a(x+b2a)2+4acb24a

0=(x+b2a)2+4acb24a2

(x+b2a)2=b24ac4a2

x+b2a=±b24ac2a

x1,x2=b±b24ac2a

按照前面的预设 x1<x2

那么 x1=bb24ac2a

x2=b+b24ac2a

通过简单的加减就能得到

x1+x2=ba

x2x1=b24aca

x1x2=ca

 

(其中1,3式就是韦达定理)

或者将 y=axx1)(xx2) 开括号

y=ax2ax1+x2)x+ax1x2

也能对比出

b=a(x1+x2)

c=ax1x2

3. 顶点式和两根式

从上面的b=a(x1+x2)以及 h=b2a

可以看出, h=x1+x22

当然也可以直观的从函数图形上得到。

二次函数的对称轴就是 x1,x2 连线的中点。

 

接下来对于顶点的纵坐标就并不那么直观了。

从代数上,我们观察下面两个式子。

x2x1=b24aca

k=4acb24a

能够发现 k=a(x2x1)24

也就是k等于a/4*两根之间距离的平方的相反数。

 

我们也可以从几何上直观的看出来

还是以y=x24x+3为例,

显然任意一个根到对称轴的距离为 x2x12 ,因为抛物线任意平移形状不变。也就是我可以将任意抛物线平移后得到形如 y=ax2 ,例如 y=12x2 ,

横纵坐标保持着,纵坐标=1/2*横坐标的平方关系

 

 

而其实这种平方关系存在于任意的抛物线,只要是对称轴上点就有的性质,即使和x轴没有交点,取一个尽可能大的数值,总能和抛物线相交两点。

我在对称轴上取一点H (对于这开口向上的抛物线,H点要在顶点上方)过H做直线平行x轴,交抛物线于D,E两点。

任意移动H点,可以发现 HGEH2

在来一个 a1 的二次函数试下。

比如 y=13x2+5x+7

当BD=8.44时候,DC=23.75=8.44*8.44/3

 

当BD=5.24时候,DC=9.14=5.24*5.24/3

 

上述总结,对于任意抛物线来说,抛物线上点的到对称轴的距离的平分*a=这个点和顶点之间的纵坐标之差。

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