2023年初中数学二次函数基本概念和图像上特殊点

以下是其基本概念和图像上特殊点。

常见三种形式。

1. 一般式： $y=a{x}^2+bx+c$
2. 顶点式： $y=a（x-h{）}^2+k$
3. 两根式： $y=a（x-x_1)(x-x_2)$

（其中两根式当二次函数和x轴没有交点的时候不存在，此时可以采用更为一般的 对称点式$y=a（x-x_1)(x-x_2)+m$ ，相当于函数 $y=a（x-x_1)(x-x_2)$ 和直线y=m的两个交点，m为足够大的数）

其中出现过的字母有

a：二次项系数，在三个表达式中都出现过。代表开口大小。

b：一般式的一次项系数。

c：常数项系数

h：顶点式中顶点x坐标

k：顶点式中顶点y坐标

（此处会注意到为什么h前面是有负号，而k前面没有，如有疑惑，请看下面链接）

yi zhang：初中数学--函数平移为什么是左加右减，上加下减97 赞同 · 16 评论文章

x_1: 两根式其中一个根

x_2：两根式其中另一个根

以下我以开口向上且和x轴有两个根的二次函数为例，介绍下三个表达式的联系以及适用范围。

如下图为例子：

（实际函数为一般式： $y=x^2-4x+3$ 或者写成顶点式： $y=(x-2{)}^2-1$ 两根式: $y=(x-1)(x-3)$ )

我们先认为 $x_1<x_2，$

那么可以得到几个点的坐标。

$A=(x_1,0)$

$B=(x_2,0)$

$C=(0,c)$

$F=(0,h)$

$G=(h,k)$

在此可以注意到，

1. 三个式子里面都有a。

2. b未出现，c是和y轴交点坐标属于一般式的。

3. h，k是属于顶点式的。（h，k）就是顶点坐标。

4. $x_1,x_2$ 是属于两根式的。分别是和x轴的两个交点。

但既然同一个二次函数可以用三种方式来表达。那么很显然，三者之间必定存在关系，以及能够相互转化。

（其实上面说法不准确，对于和x轴没有交点的无法采用两根式）

1. 一般式和顶点式

将一般式化成顶点式（这是任何情况下都成立的）

$y=a{x}^2+bx+c$

$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$

$y=a(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2-(\frac{b}{2a}{)}^2)+c$

$y=a(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2)-a(\frac{b}{2a}{)}^2+c$

$y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2-a(\frac{b}{2a}{)}^2+c$

$y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

通过对比 $y=a（x-h{）}^2+k$ 可以发现

$h=-\frac{b}{2a}$

$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

2. 一般式和两根式

由， $y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

令y=0

就能得到一元二次方程的求根公式

$0=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

$0=(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}$

$(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_1,x_2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

按照前面的预设 $x_1<x_2$

那么 $x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

通过简单的加减就能得到

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_2-x_1=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

(其中1，3式就是韦达定理）

或者将 $y=a（x-x_1)(x-x_2)$ 开括号

$y=a{x}^2-a（x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2$

也能对比出

$b=-a(x_1+x_2)$

$c=a{x}_1{x}_2$

3. 顶点式和两根式

从上面的$b=-a(x_1+x_2)$以及 $h=-\frac{b}{2a}$

可以看出， $h=\frac{x_1+x_2}{2}$

当然也可以直观的从函数图形上得到。

二次函数的对称轴就是 $x_1,x_2$ 连线的中点。

接下来对于顶点的纵坐标就并不那么直观了。

从代数上，我们观察下面两个式子。

$x_2-x_1=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$

$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

能够发现 $k=-\frac{a(x_2-x_1{)}^2}{4}$

也就是k等于a/4*两根之间距离的平方的相反数。

我们也可以从几何上直观的看出来

还是以$y=x^2-4x+3$为例，

显然任意一个根到对称轴的距离为 $\frac{x_2-x_1}{2}$ ，因为抛物线任意平移形状不变。也就是我可以将任意抛物线平移后得到形如 $y=a{x}^2$ ，例如 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ ,

横纵坐标保持着，纵坐标=1/2*横坐标的平方关系

而其实这种平方关系存在于任意的抛物线，只要是对称轴上点就有的性质，即使和x轴没有交点，取一个尽可能大的数值，总能和抛物线相交两点。

我在对称轴上取一点H （对于这开口向上的抛物线，H点要在顶点上方）过H做直线平行x轴，交抛物线于D，E两点。

任意移动H点，可以发现 $HG\equiv E{H}^2$

在来一个 $a\ne 1$ 的二次函数试下。

比如 $y=\frac{1}{3}{x}^2+5x+7$

当BD=8.44时候，DC=23.75=8.44*8.44/3

当BD=5.24时候，DC=9.14=5.24*5.24/3

上述总结，对于任意抛物线来说，抛物线上点的到对称轴的距离的平分*a=这个点和顶点之间的纵坐标之差。

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