2023年初中数学重点：利用垂线段最短解决线段最值问题

定理:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

证明如下：

作点P关于直线AB的对称点P'，连接CP'，DP'。

易知CP=CP'，DP=DP'

根据连点之间线段最短可得，

PP'≤CP+CP',即2PD≤2PC。

所以PD≤PC。

定理的应用

一、求线段最值问题中的应用

1、如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点E是对称轴AD上一点，将点E绕点C逆时针旋转60°得到点F.求线段DF的最小值。

解：

作AC的中点G，连接EG。

易证△CDF≌△CGE.所以DF=GE。

要使DF有最小值，只需GE取最小值。

根据垂线段最短可得，当GE⊥AD时，GE最小。

此时GE=1/2AG=1/4AC=3/2。

所以DF的最小值为3/2。

反思：本题实质上就是结合题中给出的等边三角形，构造了一对手拉手等边三角形。当然也可以从捆绑旋转的角度出发，先找到点F的运动轨迹，再构造全等三角形或直接建立坐标系求出轨迹的方程，运用垂线段最短加以解决。

2、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3.点P是BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AB上的动点.连接EP、EF，求EP+EF的最小值。

解：

将△ABC沿AC折叠，点B落在点N处，AN交CD于点G,

点P落在CN上的点Q处。

连接EQ，则EP=EQ。

连接FQ，过点Q作QM⊥AB于点M。

则EP+EF=EQ+EF≥QF≥QM。

易证△ADG≌△CNG。

设DG=x，则AG=4-x。

在Rt△ADG中，根据勾股定理可得，

AG²=DG²+AD²，即(4-x)²=x²+3²

解得，x=7/8

即DG=7/8，AG=4-7/8=25/8。

所以sin∠GCN=sin∠DAG=7/25。

QM=CQ*sin∠GCN+CB=3/2*7/25+3=171/50。

所以EP+EF的最小值为171/50。

3、如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D是BC的中点，点E为AB上一动点. 点P沿DE--EA折线运动，在DE、EA上速度分别是每秒1和5/3个单位.设运动时间为t秒，试求t的最小值。

分析：

由题可知t=DE+EA/(5/3)=DE+3/5EA。这是一个典型的胡不归问题。以A为顶点在AE的上方构造∠EAF，使得sin∠EAF=3/5。利用垂线段最短即可解决。

解：

过点A作BC的平行线AG，则sin∠EAG=sin∠B=3/5。

分别过点E、D作EM⊥AG，DN⊥AG垂足分别是点M、N。

易知t=DE+3/5EA=DE+EM>=DM>=DN=DP+3/5PA

当点E和点P重合时取等号.此时DN=6

所以t的最小值为6。

二、求线段取值范围中的应用

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，点D是BC边上一个动点，连接AD，过点D作DE⊥AD交AB于点E.求线段AE的最小值。

分析：

作AE的中点F，连接FD.过点F作FG⊥BC于点G.

设AE=x,用含x的代数式表示出GF和DF，

由垂线段最短可得，GF≤DF.解不等式即可得出结果。

解：

如图，作AE的中点F，连接FD.过点F作FG⊥BC于点G。

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