2023年初中数学通过分析构造辅助线来解答图形复杂的证明题

如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。求证：四边形A2B2C2D2是正方形。

这道题的难点是图形比较复杂，找等量关系比较难，这样一来，我们做辅助线构造辅助线就变得比较吃力，我们可以试着连接BC1和AB1分别找其中点F，E，连接C2F与A2E并延长相交于Q点，这样的话，根据三角形的中位线定理可得A2E=FB2，EB2=FC2。

然后证明得到∠B2FC2=∠A2EB2，然后利用边角边定理证明得到△B2FC2与△A2EB2全等，根据全等三角形对应边相等可得A2B2=B2C2，再根据角的关系推出得到∠A2B2 C2=90°，从而得到A2B2与B2C2垂直且相等，同理可得其它边也垂直且相等，所以四边形A2B2C2D2是正方形。

如果没看明白的话，下面我把具体过程写下来，大家根据解题过程再慢慢消化。

证明：如图，连接BC1和AB1分别找其中点F，E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC2，

∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB2+∠Q=90°，

∴∠GEB2=∠GFQ，

∴∠B2FC2=∠A2EB2，

可得△B2FC2≌△A2EB2，

所以A2B2=B2C2，

又∠HB2C2+∠HC2B2=90°和∠B2C2Q=∠EB2A2，

从而可得∠A2B2 C2=90°，

同理可得其它边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

这道题题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键。

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