2023年初中数学一元二次方程的解法和定义

定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)。并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是:

ax²+bx+c=0(a≠0)。其中ax²是二次项，a是二次项系数;bx是一次项;b是一次项系数;c是常数项。对于方程

ax2+bx+c=0，只有当a≠0时才是一元二次方程。反过来，如果说ax²+bx+c=0是一元二次方程则必须含着a≠0这个条件。

解一元二次方程

(1)直接开平方法

我们知道如果x²=25，则x=±25，即x=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

一般地，对于方程x²=p，①当p>0时，方程有两个不等的实数根x1=√p ，x2=−√p

②当p=0时，方程有两个相等的实数x1=x2=0。

③当p<0时，因为对任意实数x，都有x2⩾0，所以方程无实数根。

(2)配方法

通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①化二次项系数为1。

②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为

(x+n)²=p的形式。

④直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

(3)公式法

一般地，式子.b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ

表示，即Δ=b²-4ac。

当Δ=b²-4ac>0时，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根。即x1=(-b+√b²-4ac)/2a，x2=(-b-√b²-4ac)/2a。

当Δ=b²-4ac=0时，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根。x1=x2=-b/2a。

当Δ=b²-4ac<0时，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)没有实数根。

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