2023年初中数学任意角的三角函数。_三角函数定义

2023年初中数学任意角的三角函数。

来源：网络资源 2022-10-29 10:47:05

初级的三角函数。是锐角三角函数。他们以锐角为自变量。以比值为函数值。下面我们可以利用平面直角坐标系研究任意角的三角函数。如图，4-10。设α是一个任意角。二法的终边上任意一点p。(除端点外)。坐标是(x,y)。它与原点的距离是r(r=√|x|²+|y|²=√x²+y²>0

1:比值y÷r叫做α的正弦。记作sinα

Sinα=y/r

比值x/r叫做α的余弦，记作cosα

Cosα=x/r

比值y/x叫做x的正切，记作tanα

Tanα=y/x

根据相似三角形的知识，对于确定的角α。这三个比值。(如果有的话)都不会随点p在α的终边上的位置的改变而改变。

当α=π/2+kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上终边上任意一点P的横坐标都等于0,所以tanα=y/x无意义，除此之外，对于确定的角α,上面的三个比值都是唯一确定的这就是说，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。图4-11。来看看正弦，余弦正切这三种三角函数的一种几何表示。

如图4-12

设任意角α的顶点在原点O,始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆，(圆心在原点O),半径等于单位长度的圆)相交于点P(x,y),经P作x轴的垂线，垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴。设他与角α的终边(当α为第一四象限角时)或其反向延长线。(当α为第二三象限角时)相交于点T

显然，线段om的长度为|x|，线段mp的长度。|y|

他们都只能取非负值。

当角阿尔法的终边不在坐标轴上时，我们可以把om mp都看作带有方向的线段。

如果x>0把Om看做与x同向，规定，此时om具有正值x。如果x小于零，把om看作`与x轴反向。规定，此时om具有负值x。在这种规定下，不论哪一种情况都有om等于x,如果y大于零，把mp看作与y轴同向。规定此时mp具有正直vi。规定此时mp具有正值y如果y小于零，把mp看作于y轴反向。规定此时mp具有负值y。在这种规定下，不论哪一种情况都有mp等于y.

于是这种对抗中带有方向的线段叫做有向线段。根据正弦余弦函数的定义就有。

Sinα=y/r=y/1=y=MP,

Cosα=x/r=x/1=x=OM

这两条与单位圆有关的有向线段mp om分别叫做角阿尔法的正弦线余弦线。

类似的我们也可以把OA,AT看作有向线段那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识就有。tanα=y/x=MP/OM=AT

这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角α的正切线。

当角阿尔法的终边在x轴上时，正弦线正切线分别变成一个点。当角阿尔法的终边在y轴上时，余弦线变成一个点正切线不存在

现在我们分别把表示正切余弦正弦的三个比。y/x,x/r,y/r的前项后项交换，我们又得到三个比。其中。比值x/y叫做α的余切，记作cotα,

比值r/x叫做正割，记作secα,

比值r/y叫做α的余割，记作cscα,

可以看出当α=kπ(k∈Z)时，α的终边在x轴上，终边上任意一点P的纵坐标y都等于0，所以cotα=x/y与cscα=r/y的值都不存在，当α=π/2+kπ(k∈Z)时，与与tanα无意义一样，secα=r/x的值都不存在，除此之外对子确定的角α，比值x/y,r/x,r/y分别是一个确定的实数，所以余切，正割，余割也是以角为自变量。以比值为函数值的函数。以上六种函数统称三角函数。

由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系。三角函数可以看成是以实数为自变量的函数。在弧度制下，正弦余弦正切函数的定义域如下表所示。

三角函数

三角函数。

定义域

sinα

Cosα

Tanα

{α|α≠π/2+kπ,k∈Z｝

由三角函数的定义。以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知。不

正弦值。y/r对于第一二象限角是正的。(y>0,r>0),对于第三四象限角是负的。y<0,r>0

余弦值。x/r对于第一四象限角是正的。(x>0,r>0),对于第二三象限角是负的。(x<0,r>0)

正切值，y/x对于第一，三象限角是正的xy同号。对于第二四象限角是负的x y异号。