2023年初中数学：函数轴对称性的理解

秒杀结论：

函数f(x)关于x=a对称⇔⾃变量之和等于2a，函数值相等

反过来，如果⾃变量之和为常数，函数值相等，那就表明函数有轴对称

⽐如f(a−x)=f(b+x)，其⾃变量之和为常数，函数值相等，因此就表示f(x)具有轴对称，对称轴为“⾃变量之和的⼀半”，即x=a+b2

记住结论⾮常有好处，可以让我们写出不同形式：⽐如题⽬告诉你f(2+x)=f(−4−x)，⻢上识别函数f(x)关于x=-1对称，于是知道其意思是“⾃变量之和为-2，函数值相等”，于是我们可以随便写出其他形式的表达式，⽐如说：f(x)=f(−2−x)，⽽不⽤进⾏复杂的换元转化.

题1：若f(x)关于x=2对称，写出能表达f(x)对称性的四个等式

极简分析：f(x)关于x=2对称 ⾃变量之和等于4，函数值相等

和为4的⾃变量很多啊，⽐如说x和4-x，2+x和2-x，1-x和3+x，-1+2x和5-2x

于是：f(x)=f(4−x),f(2+x)=f(2−x),f(1−x)=f(3+x),f(−1+2x)=f(5−2x)

等等都能表达.

只要符合题意即可，还可以写很多

题2：若f(x)满⾜f(1−x)=f(−5+x)，则f(x)图像关于____对称

极简分析：f(1−x)=f(−5+x)中的两个⾃变量1-x和-5+x，它们的和等于-4

因此该式的含义就是“⾃变量之和等于-4，函数值相等”

其含义就是说函数 具有轴对称

且对称轴为x=−42=−2对称.

题3：若f(x)图像关于直线x=2对称，当x<2时，f(x)=x2−x，则f(6)=_____.

极简分析：函数图像关于x=2对称的意思，是“⾃变量之和等于4，函数相等”

因为6+(-2)=4，因此f(6)=f(−2)，因为f(−2)=(−2)2−(−2)=6

所以f(6)=6

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