2023年初中数学分式知识点详解

基础知识点

1、分式：

(1)分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

(2)分式是否有意义的条件：分式的分母是否等于0，有意义则分母不为0，无意义则分母为0。

(3)分式值为零的条件：分式A/B=0的条件是A=0，且B≠0。

注意：求出使分子为0的字母的值，一定要注意检验这个字母的值是否使分母的值为0，一般当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。

(4)分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。

(5)分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

注意：通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：

● “各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;

● 如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;

● 如果分母是多项式，一般应先分解因式。

(6)分式的约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

注意：约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式

◆(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;

◆(2)找公因式的方法：

① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

2、分式方程

(1)分式方程的概念

◆ a、分式方程的重要特征：

①是等式;

②方程里含有分母;

③分母中含有未知数.

◆ b、分式方程和整式方程的区别：在于分母中是否有未知数。

(2)分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：

a、方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母);

b、解整式方程，求出整式方程的解;

c、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。

注意：解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的。

运算知识点

分式的四则运算

◆乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

◆除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

◆乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。用式子表示是：(其中n是正整数)

◆加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

注意

(1)异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性;

(2)运算时顺序合理、步骤清晰;

(3)运算结果必须化成最简分式或整式。

应用知识点

涉及有关分式的知识点，主要是对分式的基本概念和分式方程的考察，易出错的几个问题是：分子不添加括号;漏乘整数项;约去相同因式导致漏根;忘记检验根。

类型一、判别分式方程

【解析】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数。A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数;D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义，故选B。

类型二、解分式方程

【解析】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项。特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根。

【答案】

类型三、分式方程的增根

【解析】处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解。

【答案】

类型四、分式方程的应用

【解析】有关列分式方程解应用题按下列步骤进行：

(1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系;

(2)设未知数;

(3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程;

(4)解这个分式方程;

(5)验根，检验是否是增根;

(6)写出答案。

【答案】

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