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来源：网络资源 2022-11-09 19:51:24
一.填空题(共10小题)
1.已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为 .
2.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4)，请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： .
3.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是 .
4.分解因式：4x2﹣4x﹣3= .
5.利用因式分解计算：2022+202×196+982= .
6.△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是 .
7.计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= .
8.定义运算a★b=(1﹣a)b，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2★(﹣2)=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，则(a★a)+(b★b)=2ab
④若a★b=0，则a=1或b=0.
其中正确结论的序号是 (填上你认为正确的所有结论的序号).
9.如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= .
10.若多项式x2﹣6x﹣b可化为(x+a)2﹣1，则b的值是 .
二.解答题(共20小题)
11.已知n为整数，试说明(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.
12.因式分解：4x2y﹣4xy+y.
13.因式分解
(1)a3﹣ab2
(2)(x﹣y)2+4xy.
14.先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值.
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴(m+n)2+(n﹣3)2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题：
(1)若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值.
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形?
15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数.
(1)36和2016这两个数是和谐数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗?为什么?
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 .
16.如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.
(1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形 (在图2虚线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式.
(2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积.
(3)现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，求可以拼成多少种边长不同的正方形.
17.(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积;
②由此，你可以得出的一个等式为： .
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图;
②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.
18.已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn
(1)计算s2;
(2)请阅读下面计算s3的过程：
因为a+b=1，ab=﹣1，
所以s3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)﹣ab(a+b)=1×s2﹣(﹣1)=s2+1=
你读懂了吗?请你先填空完成(2)中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4.
(3)试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式;
(4)根据(3)得出的结论，计算s6.
19.(1)利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04
(2)分解因式：4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)
20.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值.
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0
∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0，∴(m﹣n)2=0，(n﹣4)2=0，∴n=4，m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值.
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值.
(3)已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c= .
21.仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值.
解：设另一个因式为(x+n)，得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)，则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7)，m的值为﹣21.
问题：
(1)若二次三项式x2﹣5x+6可分解为(x﹣2)(x+a)，则a= ;
(2)若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为(2x﹣1)(x+5)，则b= ;
(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是(2x﹣3)，求另一个因式以及k的值.
22.分解因式：
(1)2x2﹣x;
(2)16x2﹣1;
(3)6xy2﹣9x2y﹣y3;
(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2.
23.已知a，b，c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)，试确定三角形的形状.
24.分解因式
(1)2x4﹣4x2y2+2y4
(2)2a3﹣4a2b+2ab2.
25.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分的面积为 ;
(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n)2、(m﹣n)2、mn之间的等量关系是 .
(3)若x+y=7，xy=10，则(x﹣y)2= .
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.
如图③，它表示了 .
(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.
26.已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值.
27.已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，
求：这个长方体的体积.
28.(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15.
29.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是.
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
30.对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式(x﹣2)(注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式(x﹣a))，于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n)，
(1)求式子中m、n的值;
(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式.
参考答案与试题解析
一.填空题(共10小题)
1.(2016秋·望谟县期末)已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为 160 .
【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可.
【解答】解：∵x+y=10，xy=16，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=10×16=160.
故答案为：160.
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.
2.(2016秋·新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4)，请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： 2(x﹣3)2.
【分析】根据多项式的乘法将2(x﹣1)(x﹣9)展开得到二次项、常数项;将2(x﹣2)(x﹣4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.
【解答】解：∵2(x﹣1)(x﹣9)=2x2﹣20x+18;
2(x﹣2)(x﹣4)=2x2﹣12x+16;
∴原多项式为2x2﹣12x+18.
2x2﹣12x+18=2(x2﹣6x+9)=2(x﹣3)2.
【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键.二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确;看错了常数项，但二次项、一次项正确.
3.(2015春·昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是 ±4 .
【分析】利用完全平方公式(a+b)2=(a﹣b)2+4ab、(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab计算即可.
【解答】解：∵x2+mx+4=(x±2)2，
即x2+mx+4=x2±4x+4，
∴m=±4.
故答案为：±4.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键.
4.(2015秋·利川市期末)分解因式：4x2﹣4x﹣3= (2x﹣3)(2x+1) .
【分析】ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)，进而得出答案.
【解答】解：4x2﹣4x﹣3=(2x﹣3)(2x+1).
故答案为：(2x﹣3)(2x+1).
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键.
5.(2015春·东阳市期末)利用因式分解计算：2022+202×196+982= 90000 .
【分析】通过观察，显然符合完全平方公式.
【解答】解：原式=2022+2x202x98+982
=(202+98)2
=3002
=90000.
【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.
6.(2015秋·浮梁县校级期末)△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是 等边三角形 .
【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0，得出：a=b=c，即选出答案.
【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：
2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，
即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，
即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0，
解得：a=b=c，
所以，△ABC是等边三角形.
故答案为：等边三角形.
【点评】此题考查了因式分解的应用;利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形.
7.(2015秋·鄂托克旗校级期末)计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151 .
【分析】通过观察，原式变为1+(32﹣22)+(52﹣42)+(1012﹣1002)，进一步运用高斯求和公式即可解决.
【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012
=1+(32﹣22)+(52﹣42)+(1012﹣1002)
=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+…+(101+100)
=(1+101)×101÷2
=5151.
故答案为：5151.
【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题.
8.(2015秋·乐至县期末)定义运算a★b=(1﹣a)b，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2★(﹣2)=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，则(a★a)+(b★b)=2ab
④若a★b=0，则a=1或b=0.
其中正确结论的序号是 ③④ (填上你认为正确的所有结论的序号).
【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.
【解答】解：①2★(﹣2)=(1﹣2)×(﹣2)=2，本选项错误;
②a★b=(1﹣a)b，b★a=(1﹣b)a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误;
③若a+b=0，则(a★a)+(b★b)=(1﹣a)a+(1﹣b)b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确;
④若a★b=0，即(1﹣a)b=0，则a=1或b=0，本选项正确，
其中正确的有③④.
故答案为③④.
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.
9.(2015春·张掖校级期末)如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0 .
【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可.
【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，
∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，
=a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3)，
=0+0，
=0.
故答案是：0.
【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题.
10.(2015春·昆山市期末)若多项式x2﹣6x﹣b可化为(x+a)2﹣1，则b的值是 ﹣8 .
【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.
【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=(x﹣3)2﹣9﹣b=(x+a)2﹣1，
∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，
解得：a=﹣3，b=﹣8.
故答案为：﹣8.
【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.
二.解答题(共20小题)
11.已知n为整数，试说明(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.
【分析】用平方差公式展开(n+7)2﹣(n﹣3)2，看因式中有没有20即可.
【解答】解：(n+7)2﹣(n﹣3)2=(n+7+n﹣3)(n+7﹣n+3)=20(n+2)，
∴(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.
【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
12.(2016秋·农安县校级期末)因式分解：4x2y﹣4xy+y.
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解：4x2y﹣4xy+y
=y(4x2﹣4x+1)
=y(2x﹣1)2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.
13.(2015秋·成都校级期末)因式分解
(1)a3﹣ab2
(2)(x﹣y)2+4xy.
【分析】(1)原式提取a，再利用平方差公式分解即可;
(2)原式利用完全平方公式分解即可.
【解答】解：(1)原式=a(a2﹣b2)=a(a+b)(a﹣b);
(2)原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2.
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
14.(2015春·甘肃校级期末)先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值.
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴(m+n)2+(n﹣3)2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题：
(1)若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值.
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形?
【分析】(1)首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到(x﹣y)2+(y+2)2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可;
(2)先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到(a﹣3)2+(b﹣3)2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可.
【解答】解：(1)∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0
∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，
∴(x﹣y)2+(y+2)2=0
∴x=y=﹣2
∴
;
(2)∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，
∴(a﹣3)2+(b﹣3)2+|3﹣c|=0
∴a=b=c=3
∴三角形ABC是等边三角形.
【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题.
15.(2015秋·太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数.
(1)36和2016这两个数是和谐数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗?为什么?
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 2500 .
【分析】(1)利用36=102﹣82;2016=5052﹣5032说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”;
(2)设两个连续偶数为2n，2n+2(n为自然数)，则“和谐数”=(2n+2)2﹣(2n)2，利用平方差公式展开得到(2n+2+2n)(2n+2﹣2n)=4(2n+1)，然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数;
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22﹣02=4，最大的为：502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和.
【解答】解：(1)36是“和谐数”，2016不是“和谐数”.理由如下：
36=102﹣82;2016=5052﹣5032;
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(n为自然数)，
∵(2k+2)2﹣(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2﹣2k)
=(4k+2)×2
=4(2k+1)，
∵4(2k+1)能被4整除，
∴“和谐数”一定是4的倍数;
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和，
S=(22﹣02)+(42﹣22)+(62﹣42)+…+(502﹣482)=502=2500.
故答案是：2500.
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化.
16.(2015春·兴化市校级期末)如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.
(1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形 (在图2虚线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式.
(2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积.
(3)现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，求可以拼成多少种边长不同的正方形.
【分析】(1)根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可;
(2)由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积;
(3)设正方形的边长为(na+mb)，其中(n、m为正整数)由完全平方公式可知：(na+mb)2=n2a2+2nmab+m2b2.因为现有三种纸片各8张，
n2≤8，m2≤8，2mn≤8(n、m为正整数)从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案.
【解答】解：(1)如图：
拼成边为(a+2b)和(a+b)的长方形
∴a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b);
(2)∵长方形②的周长为34，
∴a+b=17.
∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，
∴a2+b2=169.
将a+b=17两边同时平方得：(a+b)2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，
∴2ab=289﹣169，
∴ab=60.
∴长方形②的面积为60.
(3)设正方形的边长为(na+mb)，其中(n、m为正整数)
∴正方形的面积=(na+mb)2=n2a2+2nmab+m2b2.
∵现有三种纸片各8张，
∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8(n、m为正整数)
∴n≤2，m≤2.
∴共有以下四种情况;
①n=1，m=1，正方形的边长为a+b;
②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b;
③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b;
④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b.
【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式.
17.(2014秋·莱城区校级期中)(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积;
②由此，你可以得出的一个等式为： a2+2a+1 = (a+1)2.
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图;
②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.
【分析】(1)要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式;
(2)要能根据等式画出合适的拼图.
【解答】解：(1)①长方形的面积=a2+2a+1;长方形的面积=(a+1)2;
②a2+2a+1=(a+1)2;
(2)①如图，可推导出(a+b)2=a2+2ab+b2;
②2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b).
【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式;运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解.
18.(2013秋·海淀区校级期末)已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn
(1)计算s2;
(2)请阅读下面计算s3的过程：
因为a+b=1，ab=﹣1，
所以s3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)﹣ab(a+b)=1×s2﹣(﹣1)=s2+1= 4
你读懂了吗?请你先填空完成(2)中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4.
(3)试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式;
(4)根据(3)得出的结论，计算s6.
【分析】(1)(2)利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论;
(3)根据(1)所推出的结论，即可推出Sn﹣2+Sn﹣1=Sn;
(4)根据(3)的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3.
【解答】解：(1)S2=a2+b2=(a+b)2﹣2ab=3;
(2)∵(a2+b2)(a+b)=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab(a+b)，
∴3×1=a3+b3﹣1，
∴a3+b3=4，即S3=4;
∵S4=(a2+b2)2﹣2(ab)2=7，
∴S4=7;
(3)∵S2=3，S3=4，S4=7，
∴S2+S3=S4，
∴Sn﹣2+Sn﹣1=Sn;
(3)∵Sn﹣2+Sn﹣1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，
∴S5=4+7=11，
∴S6=7+11=18.
【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：Sn﹣2+Sn﹣1=Sn.
19.(2013春·重庆校级期末)(1)利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04
(2)分解因式：4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)
【分析】(1)利用完全平方公式因式分解计算即可;
(2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可.
【解答】解：(1)原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22
=(9.8+0.2)2
=100;
(2)4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)
=(a﹣1)(4a2﹣4a+1)
=(a﹣1)(2a﹣1)2.
【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键.
20.(2013春·惠山区校级期末)阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值.
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0
∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0，∴(m﹣n)2=0，(n﹣4)2=0，∴n=4，m=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值.
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值.
(3)已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c= 7 .
【分析】(1)将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值;
(2)将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长;
(3)由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值.
【解答】解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0
∴(x+y)2+(y+1)2=0
∴x+y=0 y+1=0
解得x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2;
(2)∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴(a2﹣6a+9)+(b2﹣8b+16)=0
∴(a﹣3)2+(b﹣4)2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得a=3，b=4
∵三角形两边之和>第三边
∴c
∴c<7，又c是正整数，
∴c最大为6;
(3)∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：(b+4)b+c2﹣6c+13=0，
整理得：(b2+4b+4)+(c2﹣6c+9)=(b+2)2+(c﹣3)2=0，
∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，
则a﹣b+c=2﹣(﹣2)+3=7.
故答案为：7.
【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
21.(2012秋·温岭市校级期末)仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值.
解：设另一个因式为(x+n)，得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)，则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7)，m的值为﹣21.
问题：
(1)若二次三项式x2﹣5x+6可分解为(x﹣2)(x+a)，则a= ﹣3 ;
(2)若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为(2x﹣1)(x+5)，则b= 9 ;
(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是(2x﹣3)，求另一个因式以及k的值.
【分析】(1)将(x﹣2)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值;
(2)(2x﹣1)(x+5)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值;
(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2+5x﹣k=(2x﹣3)(x+n)=2x2+(2n﹣3)x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式.
【解答】解：(1)∵(x﹣2)(x+a)=x2+(a﹣2)x﹣2a=x2﹣5x+6，
∴a﹣2=﹣5，
解得：a=﹣3;
(2)∵(2x﹣1)(x+5)=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，
∴b=9;
(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2+5x﹣k=(2x﹣3)(x+n)=2x2+(2n﹣3)x﹣3n，
则2n﹣3=5，k=3n，
解得：n=4，k=12，
故另一个因式为(x+4)，k的值为12.
故答案为：(1)﹣3;(2分)(2)9;(2分)(3)另一个因式是x+4，k=12(6分).
【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.
22.(2012春·郯城县期末)分解因式：
(1)2x2﹣x;
(2)16x2﹣1;
(3)6xy2﹣9x2y﹣y3;
(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2.
【分析】(1)直接提取公因式x即可;
(2)利用平方差公式进行因式分解;
(3)先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解;
(4)把(x﹣y)看作整体，利用完全平方公式分解因式即可.
【解答】解：(1)2x2﹣x=x(2x﹣1);
(2)16x2﹣1=(4x+1)(4x﹣1);
(3)6xy2﹣9x2y﹣y3，
=﹣y(9x2﹣6xy+y2)，
=﹣y(3x﹣y)2;
(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2，
=[2+3(x﹣y)]2，
=(3x﹣3y+2)2.
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在(3)，提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解.
23.(2012春·碑林区校级期末)已知a，b，c是三角形的三边，且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)，试确定三角形的形状.
【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.
【解答】解：∵(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，
a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，
即(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0，
∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，
∴a=b=c，
故△ABC为等边三角形.
【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断.关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.
24.(2011秋·北辰区校级期末)分解因式
(1)2x4﹣4x2y2+2y4
(2)2a3﹣4a2b+2ab2.
【分析】(1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可;
(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.
【解答】解：(1)2x4﹣4x2y2+2y4
=2(x4﹣2x2y2+y4)
=2(x2﹣y2)2
=2(x+y)2(x﹣y)2;
(2)2a3﹣4a2b+2ab2
=2a(a2﹣2ab+b2)
=2a(a﹣b)2.
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底.
25.(2011秋·苏州期末)图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分的面积为 (m﹣n)2;
(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n)2、(m﹣n)2、mn之间的等量关系是 (m+n)2﹣(m﹣n)2=4mn .
(3)若x+y=7，xy=10，则(x﹣y)2= 9 .
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.
如图③，它表示了 (m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2.
(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.
【分析】(1)可直接用正方形的面积公式得到.
(2)掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别.
(3)此题可参照第(2)题.
(4)可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式.
(5)可参照第(4)题画图.
【解答】解：(1)阴影部分的边长为(m﹣n)，阴影部分的面积为(m﹣n)2;
(2)(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mn;
(3)(x﹣y)2=(x+y)2﹣4xy=72﹣40=9;
(4)(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2;
(5)答案不唯一：
例如：
.
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形.
26.(2009秋·海淀区期末)已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值.
【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解;但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口.由a﹣b=8可得a=b+8;将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0;此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值;然后代值运算即可.
【解答】解：因为a﹣b=8，
所以a=b+8.(1分)
又ab+c2+16=0，
所以(b+8)b+c2+16=0.(2分)
即(b+4)2+c2=0.
又(b+4)2≥0，c2≥0，
则b=﹣4，c=0.(4分)
所以a=4，(5分)
所以2a+b+c=4.(6分)
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法.
27.(2010春·北京期末)已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，
求：这个长方体的体积.
【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为(a+1)(b+1)(c+1)﹣1，就得(1+b)(c+1)(a+1)=2007，由于a、b、c均为正整数，所以(a+1)、(b+1)、(c+1)也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得(a+1)、(b+1)、(c+1)的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222.就可求出长方体体积abc了.
【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，
a(1+b)+c(1+b)+ac(1+b)+(1+b)﹣1=2006，
(1+b)(a+c+ac)+(1+b)=2007，
(1+b)(c+1+a+ac)=2007，
(1+b)(c+1)(a+1)=2007，
2007只能分解为3×3×223
∴(a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分别为3、3、223
∴a、b、c也只能分别为2、2、222
∴长方体的体积abc=888.
【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式.
28.(2007秋·普陀区校级期末)(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15.
【分析】把(x2﹣4x)看作一个整体，先把﹣15写成3×(﹣5)，利用十字相乘法分解因式，再把3写成(﹣1)×(﹣3)，﹣5写成1×(﹣5)，分别利用十字相乘法分解因式即可.
【解答】解：(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15，
=(x2﹣4x+3)(x2﹣4x﹣5)，
=(x﹣1)(x﹣3)(x+1)(x﹣5).
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底.
29.(2007春·镇海区期末)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004，则需应用上述方法 2004 次，结果是 (1+x)2005.
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系.
【解答】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次.
(2)需应用上述方法2004次，结果是(1+x)2005.
(3)解：原式=(1+x)[1+x+x(x+1)]+x(x+1)3+…+x(x+1)n，
=(1+x)2(1+x)+x(x+1)3+…+x(x+1)n，
=(1+x)3+x(x+1)3+…+x(x+1)n，
=(x+1)n+x(x+1)n，
=(x+1)n+1.
【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广.
30.(2007春·射洪县校级期末)对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式(x﹣2)(注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式(x﹣a))，于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n)，
(1)求式子中m、n的值;
(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式.
【分析】(1)根据(x﹣2)(x2+mx+n)=x3+(m﹣2)x2+(n﹣2m)x﹣2n，得出有关m，n的方程组求出即可;
(2)由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为(x+1)(x2+ax+b)的形式，进而将多项式分解得出答案.
【解答】解：(1)方法一：因(x﹣2)(x2+mx+n)=x3+(m﹣2)x2+(n﹣2m)x﹣2n，
=x3﹣5x2+x+10，(2分)
所以
，
解得：m=﹣3，n=﹣5(5分)，
方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n)中，
分别令x=0，x=1，
即可求出：m=﹣3，n=﹣5(注：不同方法可根据上面标准酌情给分)
(2)把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，
则多项式可分解为(x+1)(x2+ax+b)的形式，(7分)
用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，(8分)
所以x3﹣2x2﹣13x﹣10=(x+1)(x2﹣3x﹣10)，(9分)
=(x+1)(x+2)(x﹣5).(10分)
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