20232你操作数学一元一次方程七大行程问题

一、基本原理、方法和步骤

1.1、基本公式或原理

路程 = 速度×时间

速度 = 路程÷时间

时间 = 路程÷速度

看，其实追及相遇问题就是翻来覆去用这个公式。

1.2、用一元一次方程解决实际问题的方法和步骤为：

①找出等量关系式 ②设未知数 ③列方程 ④解方程 ⑤检验。这五步，可以简化为五个字：“找、设、列、解、检”来记忆。

1.3、找等量关系

用一元一次方程解决实际问题，最关键也是最要的，就是第一步“找等量关系”，那么对于追及和相遇问题，我们可以发现通常有以下等量关系：

1)相遇问题即相向而行，等量关系：双方所走路程之和=全部路程;

2)追及问题即同向而行，等量关系：双方行程的差=原来的路程(开始时双方相距的路程) = 追赶者走的路程 - 被追赶者走的路程.

3)航行问题(飞行问题)

船的航行问题，等量关系：

①船在静水中速度+水速=船的顺水速度;②船在静水中速度-水速=船的逆水速度。

飞机的飞行问题，等量关系：

①飞机的飞行速度+风速=飞机顺风时的速度;②飞机的飞行速度-风速=飞机逆风时的速度;

4)环形跑道问题：①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发，等量关系：快的 - 慢的 = 多跑一圈或几圈的路程。②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发，等量关系：双方所跑路程之和 = 环形跑道一圈的长度。

5)往返问题，等量关系：去时路程 = 回时路程

6)回声问题，等量关系：声音速度×时间 = 声音从发出地至碰到障碍物再返回声音接收地路程之和。

7)接力问题，等量关系：甲路程+乙路程 = 全部路程 或者 甲完成量+乙完成量 = 全部完成量

二、例题详解

2.1、相遇问题

例1、甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后3 h两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60 km，相遇后再经1 h乙到达A地.

(1)甲、乙两人的速度分别是多少?

(2)两人从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距20 km?

解：(1)解法一：设甲的速度为xkm/h，易得乙的速度为(x+20)km/h.

根据题意，得3x+3(x+20)=4(x+20)，

解得x=10.

则x+20=30.

答：甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h.

解法二：设相遇时乙行了3ykm，那么甲行了ykm

根据题意：3y-y = 2y =60

解得y=30km

所以甲的速度为30÷3=10km/h，乙的速度为30 km/h.

(2)设经过th两人相距20 km.

①相遇前相距20 km时，可得方程10t+30t+20=4×30，

解得t=2.5;

②相遇后相距20 km时，可得方程10t+30t=4×30+20，

解得t=3.5.

答：经过2.5 h或3.5 h两人相距20 km.

2.2、追及问题

例2、甲、乙两站间的路程为360千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶88千米.两列火车同时开出，同向而行，慢车在前，快车在后，问经过几小时快车追上慢车?

解：设经过x小时，快车追上慢车.(88-48)·x=360，x=9.所以经过9小时快车追上慢车

2.3、航行问题

例3、一艘船航行于A，B两码头之间，顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离.

解：设船在静水中的速度为x千米/时，3(x+4)=5(x-4)，x=16.则3×(16+4)=60(千米).所以这两个码头之间的距离为60千米.

2.4、环形跑道问题

例4、甲、乙二人在300m长的环形跑道上练习长跑，甲的速度是6m/s，乙的速度是7m/s.

(1)如果甲、乙二人同地背向跑，乙先跑2s，然后甲再跑，那么甲跑多少秒后甲、乙二人第一次相遇?

(2)如果甲、乙二人同时同地同向跑，乙跑几圈后能首次追上甲?

解：(1)设甲跑xs后甲、乙二人第一次相遇，依题意，得7×2+7x+6x=300，解得x=22，所以甲跑22s后甲、乙二人第一次相遇.

(2)设经过ys后，乙能首次追上甲，依题意，得7y-6y=300，解得y=300.因为乙跑一圈需300/7s，所以乙跑了300÷(300/7)=7(圈).故乙跑7圈后能首次追上甲.

例5、甲、乙两人在操场上练习竞走，已知操场一周为300m，甲每分钟走100m，乙每分钟走60m，现在两人同时同地同向出发xmin后第一次相遇，则下列方程中错误的是( )

A. (100-60)x=300 B. 100x=300+60x

C. x/3-x/5=1 D. 100x+300=60x

答案：D

2.5、往返问题

例6、春节假期，小陈驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了40分钟，返回时平均速度提高了25千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少了10分钟，求小陈去时的平均速度，设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为

解：设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则返回时驾车的平均速度为(x+25)千米/小时，

依题意，得：(2/3)x=(x+25)/2.

故答案为：(2/3)x=(x+25)/2.

2.6、回声问题

例7、一辆货运小汽车以15米/秒的速度向对面山谷行驶，司机鸣一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷( )米(已知空气中声音的传播速度约为340米/秒)

解：设此时汽车离山谷x米，

声音从发出地至碰到障碍物再返回声音接收地路程之和= 2x + 4×15

声音速度×时间 = 340×4

根据等量关系有：2x + 4×15 = 340×4

解得x= 650米

2.7、接力问题

例8、某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务交给甲、乙两个工程队接力完成，共用时20天.已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.

解：设甲工程队整治了x天，则乙工程队整治了(20-x)天.

由题意，得24x+16(20-x)=360，

解得x=5.

所以乙工程队整治了20-5=15(天).

甲工程队整治的河道长为24×5=120 (m)，

乙工程队整治的河道长为16×15=240 (m).

答：甲、乙两个工程队分别整治了120 m，240 m的河道.

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