2023年初中数学中函数的图像的教学

一、 基本内容

在初中数学阶段，函数主要指：一次函数、反比例函数、二次函数，而我们对于函数的考察主要集中在对函数图像与在实际问题中的函数。本文目的就是在于交流，教师应该讲授这些知识，换句话说，就是我们在传授这些知识时

，应该对它进行怎么样的加工。

总的来说，就是把图像问题与系数联系起来，并且通过动态的观察，让学生明白不同系数在不同函数中的几何意义;形成通过系数来研究图像的思维方式。

二、 几点原则

在教学中，我个人通过对不同的学生的一对一辅导，发现了在教学过程不少需要注意的误区：

1.避免死记硬背。数学里死记硬背还是很奇怪的一件事，不过我们来看下浙教版的教科书：

浙教版八年级上·一次函数的图像

图中的黑体字是本书中，第一次直接写出有关于k与图像的关系有关的结论。因此，很多学生在提到这个问题的时候，都会完整的背一遍这句话，诚然这种做法短期内没有太大危害，甚至可以说通过大量的题型训练迟早会掌握，但是这显然没有让学生产生比较好的理解，对于之后的学习并没有好处。而很多学校的学生教科书上，我甚至看到了老师让学生背的好几句话，例如：“k>0，b>0，过一、二、三象限”，这样的句子。有意思的是，老师忘记写b=0的情况，不少学生只要你一问他b=0图像过哪几个象限，会立刻发懵，稍微想一想才反映过来，那就是正比例函数了，但是这样的学生会在正比例函数是不是一次函数的问题上，再度发懵。

2. 讲解时多用中文术语。这是个小细节，不注意的话对于大部分学生其实没有影响。但是如果题目中出现了：y=bx+k，有一部分学生会发昏的。推荐用：斜率、截距这两个词。不用深刻的理解，斜率让学生暂时理解成，一次函数一般式中x的系数;截距指的是一般式中的常数项。其实这两个名词很巧妙，斜率这一个词基本解释了k的几何意义，对后续学习也有好处。

3.尽量用动态演示。不需要做一个很专业的动画软件，其实用几何画板就可以动态演示，操作也很简单。动态的演示不仅仅是有利于学生的记忆，它可以让知识形象化。“倾斜程度大图像，k的绝对值也越大”，这句话基本不会默写，但是从自然语言转化的数学与语言，再转化成图像还是很麻烦的。我在课上通过拖动k值演示一下，学生的语言很不规范，但是基本可以说出k如果变大会怎么“转”，变小怎么“转”。在学生脑海中出现的是一副动态图，语言反过来只是表达。如果对于学有余力的学生，你甚至可以问一句，绕着谁转呢[(0,b)]。

接下来我以一次函数为例说一说，这一堂课，在上述原则下我们应该怎么讲，讲什么。

三、 以一次函数为例

(一)教科书中的暗示

接着上面的例子，单调性真的是本书第一次提及函数图像与系数的关系吗?答案是否定的，在前一部分的练习中，有这么一道题：

仔细观察一下，会发现这道题的数字出的很有特点显然是要让学生找规律了，而问题是与坐标轴的交点，那么我们不妨先把斜率放下，相比于与x轴的交点，与y轴的交点在这题是很直观的。为什么后两幅图像与y轴交点是一样的?他们什么是一样的，什么不一样?与y轴的交点可能与什么有关?

这里就首先出现了对截距的知识，教师必须在这里提及谁决定了与y轴的交点。此处的提及要强调两点：第一，与y轴交点就是(0，b)，截距就是与y轴交点的纵坐标;第二，与斜率没有任何关系，与y轴的交点与k值无关。第二点尤其重要，这让k与b的分工彻底区分开，表示了b决定了图像的位置，k不决定位置。如果联想到二次函数，会发现很类似的结论，与抛物线形状有关的其实只有a，b、c都在一定程度上影响了抛物线的位置，这点在复习的时候很好用。

(杭州英特外国语学校初中数学九年级上2017年第三次月考)例题：在同一坐标平面内，图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是(　　)

A.()﹣y=2(x+1)2﹣1B.y=2x2+3

C.y=−2x2−1D.y=12x2−1

同时，这也就解释了为什么b=0的时候会过原点，在演示中，教师保持k不变，学生就可以轻易的看出，随着b的变化，直线是在上下平移的。而后才出现了单调性的结论。如果说前一个问题解决了b的几何意义，那么这里就是要解决k的几何意义。也就给出了我们教学的基本思路：

1. k和b应该分开理解，让学生了解它们各自的分工，并且互不干扰。

2. 从难易程度上来说b相对简单，应该先讲b再讲k。

因此这一堂课其实只有两个点：k决定了直线的倾斜角度，b决定了图像的位置。

(二)k的教法

在讲解完截距后，k其实就相对好讲，引入也很简单：“b决定了图像与y轴的交点，那么k决定了什么呢?”这里大可以让学生猜一猜，会有猜与x轴交点的，这其实也不算错，之后可以作为一个补充结论，不过意义不太大。

在这里可以动态演示，当截距不变时，k上下变化图像会如何变化?从感觉上来看，学生都会发现是在绕着一个点旋转，可以问一句这个点是什么?(0，b)，这也算验证了之前的所学，这里可以让学生自己描述自己的看法，教师要听到联系性的描述。不一定是非常准确的描述，要听到k变大变小时，图像会如何变化这样发现数字和图像直接因果关系的句子就算成功。那么我们要总结出三个结论：

1. k的正负与图像的上升和下降。仅仅依靠这个，就可以与之前的知识结合起来解决一些题型了：

例题：直线y=kx+b经过一、三、四象限，则直线y=bx-k的图象只能是图中的( )

一次函数的位置与系数的关系

不要让学生去记复杂的东西，把情况只分成两类k的正负与上升和下降，不然过段时间不用绝对会忘。

2. 上升下降与k的正负，反过来也可以快速说出。这点就不多做解释，b的正负问题可以一起解决。

3. 倾斜程度与k的大小问题。有的老师会问，记得k大于0一定过一、三，反之一定过二四，不演示行不行。肯定是不合适的，比如：

k与倾斜角

例题：如图，三个正比例函数对应的解析式为①y=ax;②y=bx;③y=cx，则a、b、c的大小关系是( )

A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a

此处一定要强调倾斜角度指的是与x轴的夹角，夹角越大k的绝对值越大。这道题很适合拿来做，因为学生可能会在③这条线上出错，此时它的k是负数，肯定是最小的。

在最后一定要反过来强调，斜率只决定了倾斜角度，截距只决定了位置，关键在于“只”，它是让问题简单化的关键。

(三)为什么这样教

1. 这种方式在我实践下来基本所有学生都可以理解，相比于死记硬背，这也是效率明显比较高的方式。

2. 对后续的教学有利。实际上，我们这一课之后会涉及到平移的有关问题，在这种k和b完全分开的教学后，平移我们起码可以让学生明白，k是一定不会变的。如：

例题：如果直线y=m2x+m−1是由直线y=x平移得到的不同直线，那么是经过怎么样的平移得到的?

而这之后，我们也可以方便的通过图像向学生解释，为什么增减性问题只与k有关，因为k决定了上升或者下降，b只决定了图像位置。

另一方面，其中将各个系数分开理解的理解方式，对后续二次函数的教学会有好处。

3.兼顾到了优等生。在习题中，我们可以以此为基础，夹杂难度比较高的题型，补充一些难度高，教材中不要求掌握的知识点如：

(1)两直线平行的条件：k相等b不等。

(2)两直线垂直的条件探究：斜率互为负导数。

(3)一些利用几何意义解决的难题：

例题：已知A(3，5)，B(5，4)，若直线y=kx-2k与线段AB有交点，那么k的取值范围是_________.

比如上题就是利用过定点(2，0)，只要考虑k刚好交于A、B点的情况，就可以判断出k的范围。

四、 其他函数的要点一览

(一)反比例函数

1. k的正负决定了象限

2. k的绝对值大小决定了图像与原点的距离，例题：

(2010大港区一模)如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=kx(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是____________________-.

3. 双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴围成的矩形面积为|k|.

例题：在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数y=4x在同一支上的不同两点，过A，B分别向x轴y轴作垂线，垂足为E、F，求证：EF∥AB.

(二)二次函数

1. 一般式、顶点式、交点式的a(二次项系数)意义相同，都决定了开口大小和方向。A的绝对值越大开口越小。

2. 在顶点式中，可以直接读出顶点坐标以及对称轴

3. 在一般式中：(1)c是截距(2)b有左同右异(3)顶点坐标公式

4. 在交点式中，可以直接读出与x轴的交点，以及知道怎么样计算对称轴位置。

5. 了解Δ的数性与图像的关系，(1)Δ>0，与x轴有两个交点;(2)Δ=0与x轴有一个交点;(3)Δ小于0与x轴无交点

*6.a+b+c与a-b+c分别是x=1和x=-1时的y值。

五、结语

本文只讨论怎么样把有关函数图像的知识点讲精，所以很多考点比如利用二次函数解决最值问题，不是不重要，而是不在本文的讨论范围内。我最想写的东西，是想表明，如果一个教师想完成教科书上的目标，那么我们有哪些东西要讲透。这次列举的浙江版教科书，很多东西在参考用书上可能会写，但对于年轻教师来说，其实最大的难点在于要讲什么。讲题目容易，讲课难。

课本上好像就那么点东西，有时候觉得学生自己看书都能看懂。我觉得不是这样的，老师还是要把学生想得笨一点，书本如果说是告诉了学生“是这么一回事“，教师的工作就是告诉学生”怎么理解这个内容“”为什么会这样“”怎么样在你的记忆中去编排它“。按照我的恩师的说法，一个教师的水平，就体现在怎么把复杂的东西说得简单，很多学生搞不懂函数，其实这就是老师没抓住函数的本质。一次函数就学两个字母k和b。我们的任务不是把题型分化，而是把所有题型都转化成k和b两个问题。要让学生觉得原来所有的题目都是一个样子，”万变不离其宗“。

我不太写这些东西，水平也有限的很，不过很高兴的是，之前发的文章虽然没什么反响，但是也有几个跟我一样对教学有兴趣的年轻老师想法儿加了我微信，想有时候探讨一下教学。若要说我有什么想做的，就是尽可能多的预见更多同好，没有太多想法，就是想知道怎么把课上好，互相交流经验。同志虽少，但总聊胜于无。

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