2023年初中数学：圆的辅助线作法

圆几乎是中考数学必考的压轴题型之一，因为与圆结合的图形形状有很多，比如三角形、四边形等基本图形。可见其综合性、灵活性非常高。而要做好与圆相关的题目，我们通常少不了要做与圆有关的辅助线，今天我们就来讨论一下怎么做与圆有关的辅助线。

一、辅助线作法

1、圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等

推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;

辅助线方法：①若条件给出圆周角或者圆心角的度数或等量关系

那么我们就添加辅助线，找出同弧或等弧所对的圆周角或圆心角;

②见到直径，那么我们就找直径所对的圆周角。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

辅助线或使用方法：

①计算线段长，或证明线段相等，考虑垂径定理;

②一直线过圆心的情况，就要想到证某条弦被该直线垂直平分;

③若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果

3、切线判定定理:经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.

切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

所以如果一条直线具备以下三个条件中的任意两个,就可推出第三个：

①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.

辅助线方法：见到切线尤其是要证明相切关系，那么我们就连过切点的半径。

4、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

辅助线方法：见到弦切角就作出它所对应的圆周角或圆心角。

5、两圆相交

辅助线方法：连接公共弦和两个圆心。

二、相关定理对应例题解析

2.1、圆周角定理

方法技巧：见到直径，那么我们就找直径所对的圆周角

2.2、垂径定理

例3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=4，tanB=3.以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点.

(1)求证：DE=CF;

(2)求：直径AB的长.

(1)证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H.

∵AD∥BC，∠ADC=90°，OH⊥DC，

∴∠BCN=∠OHC=∠ADC=90°.

∴AD∥OH∥BC.

又∵OA=OB.

∴DH=HC.

∵OH⊥DC，OH过圆心，

∴EH=HF，

∴DH﹣EH=HC﹣HF.

即：DE=CF.

(2)解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB=90°，

∵∠AGB=∠BCN=90°，

∴AG∥DC.

∵AD∥BC，

∴AD=CG.

∵AD=2，BC=4，

∴BG=BC﹣CG=2.

在Rt△AGB中，∵tanB=3，

∴AG=BG•tanB=2×3=6.

方法技巧：计算线段长，或证明线段相等，考虑垂径定理

例4、如图4-10(a)所示，A、B、C在⊙O上，∠ABC=2∠C，BP平分∠ABC，AE⊥BP于E，求证：AE过圆心O.

方法技巧：要证“一直线过圆心”的情况，就要想到证以这条直线为弦的垂直平分线，所以补齐图中图形，由垂径定理即可得证.

2.3、切线判定定理

例5、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于点C，连接AC，BC.

(1)求证：四边形ACBP是菱形;

(2)若⊙O的半径为1，求菱形ACBP的面积.

方法技巧：见到切线尤其是要证明相切关系，那么我们就连过切点的半径

例6、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE.

(1)求AC、AD的长;

(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由.

辅助线方法：见到弦切角就作出它所对应的圆周角或圆心角

3.4、弦切角定理

3.5、两圆相交

例8、如图所示，⊙O1和⊙O2交于D、E，A在⊙O1上，AD、AE分别交⊙O2于B、C.求证：AO1⊥BC.www-2

证明;如图4-7(b)所示，连接DE，得∠ADE=∠C.

设AO1交⊙O1于F，由于同圆中同一条弦所对的同侧的圆周角相等，

∴∠AFE=∠ADE.

又∠AFE+∠FAE=90°，

∴∠EAF+∠C=90°，即AO1⊥BC.

方法技巧：与两圆相交，连接公共弦和两个圆心

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