已知:如下图,A、B两点是直线l同旁的两个定点
问题:在直线l上求一点P,使得PA+PB的值最小.
分析:作点A关于直线l的对称点A’,连结A’B,交直线于点P,此时PA+PB=A’B最小.证明过程很简单,在直线上再任取一点P’,P’A=P’A’,P’A+P’B=P’A’+P’B>A’B,所以点P是所求.
模型应用:
(1)如图,正方形ABCD边长为2,点E是边AB中点,点P是对角线AC上一点.则PE+PB的最小值是 .
(2)如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一点,则PA+PC的最小值是 .
(3)如图,直线AB与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点B(0,4),点C、D分别是OA、AB的中点,P是OB上一点,求△PCD周长的最小值.
以上几题是模型1在不同题型中的运用,同学们如果能练成“火眼金睛”,善于在变化的条件中找到不变的数学模型,“以不变应万变”,就可以像孙悟空一样成为考场上的“斗战胜佛”.如果把模型1中的条件稍作调整,又可以得到它的一些推广模型.
答案:
推广1:
已知:如图,点P是∠AOB内一定点.
问题:分别在OA、OB边上找点M、N,使△PMN的周长最小.
分析:△PMN的周长=PM+MN+NP,可以利用作轴对称,把这三条线段转化为同一直线上的线段.如图,分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’,连结P’P’’,分别交OA、OB于点M、N,连结PM、PN,此时PM=P’M,PN=P’N,△PMN的周长=PM+MN+NP=P’P’’,此时周长最小.
模型应用:如图,点C(1,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A、B两点,D、E分别是AB、OA上的动点,则△CDE周长的最小值是
.
答案:10
推广2:
已知:点P、Q是∠AOB内部两定点.
问题:分别在直线OA、OB上找点M、N,使四边形PMNQ的周长最小.
分析:因为PQ的长度是定值,要使四边形PMNQ的周长最小,就是要使PM+MN+NQ的值最小.作点P关于OA的对称点P’,作点Q关于OB的对称点Q’,连结P’Q’,分别交直线OA、OB于点M、N,连结PM、MN、NQ,因为PM=P’M,QN=Q’N,所以四边形PMNQ的周长=PM+MN+NQ+QP=P’Q’+PQ,因为PQ是定值,而PM+MN+NQ的最小值为P’Q’的长度,所以此时四边形PMNQ的周长最小.
模型应用:在平面直角坐标系中,点A(-8,3),点B(-4,5),点C(0,n),点D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求m:n的值.
答案:
在变化万千的已知条件下,能够找到不变的规律,这与《易经》中阐述的“变与不变”的智慧相吻合.人类最高的智慧,就是“以不变应万变”,这也是数学学习的无敌法宝.
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