2023年初中数学一元二次方程的知识体系

第一级：清晰掌握一元二次方程的概念

大家都认为了解概念很简单，但是如果真要对概念特别熟悉，需要学会2个方法：

(1)拆分概念的描述;

(2) 熟悉概念的一般情况和特殊情况。

比如，一元二次方程的定义是：

等号两边是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

(1)拆分概念

概念中包含4个要求

分别是显示出来的：①整式方程、②一元、③二次

还有隐藏于其中的：④二次项系数不等于0.

(2)学会区分一般情况和特殊情况

一般情况容易辨别，直接根据上面的4个要求判断就行;

特殊情况了解不多，在考察的时候往往就容易出错。

比如这两个式子是不是一元二次方程：

①ax^2+bx+c=0;②x^2+x+2=x(x+5);

(tips:你觉得两个式子是or不是，可留言回复)

这是一种学习新概念的思路——首先拆分概念描述，然后了解有哪些一般情况和特殊情况。

在学习数学的其他概念时，可以参考这种方法。

拓展开来，把这个方法应用到其他物理、化学、法律等学科的概念，也可以适用。

第二级：掌握一元二次方程的4个解法

四个解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。

(1)直接开方法

此方法最简单，一般有这几种形式：

ax^2=k(k≥0)

(ax+b)^2=k(k≥0)

(ax+b)^2=(cx+d)^2

(2)配方法

配方法是需要把代数式化成平方(ax+b)^2=k的形式，用开方法解方程。

配方法的过程：

①二次项系数化为1;

②常数项右移;

③配方(加上一次项系数一半的平方);

④化成开平方的形式;

⑤直接开方求解;

(3)公式法

配方法的过程是固定的且重复的，我们把这种重复性的计算可以总结为公式，产生了公式法。

公式法还产生出了一个非常重要的知识点，就是方程的判别式△与方程解的个数关系：

①△>0，两个不相等的实数根;

②△=0，两个相等的实数根;

③△<0，无实根。

(4)因式分解法

因式分解法是利用a*b=0，则a=0或b=0的原理，把左边的代数式进行因式分解。

如果熟练使用十字相乘法因式分解，则计算速度比用公式法还要快速。

比如式子：4x^2-12x+5=0

十字相乘法可以拆分为(2x-5)(2x-1)=0，马上就可以得到方程的解。

4个解法的特点比较：

直接开方法格式要求比较高，出题少;

配方法和公式法适用于所有的一元二次方程;

因式分解法常用且解题速度快，要求熟练掌握;

大量的重复的机械性计算，一定可以归纳出一个数学工具——公式。

比如，从配方法归纳出公式法;从整式乘法归纳出平方差公式和完全平方公式。

拓展开来，在社会中，重复性的机械劳动也会从人工操作转成智能程序控制。

比如：部分高速路收费员转化成ETC;医院的很多流程，从人工转到了自助设备。

第三级：掌握一元二次方程的根与系数关系

从公式法中我们知道x1和x2的值，两个根相加和相乘就产生了韦达定理：

x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a

韦达定理的主要作用：

在不进行求解方程的情况下知道两个根的和与两个根的积是多少，还可以判断两个根的正负性。

同样，根据两个根的正负性也可以求出参数的范围。

比如这样的题目：

这类题目需要注意的一个易错点是：

用韦达定理的前提是方程的判别式大于等于0，所以遇到用韦达定理的题目，先计算判别式是否大于等于0。

第四级：熟练解决一元二次方程的实际应用

实际应用题一般分为这几类：

(1)一元二次方程增长率问题

(2)一元二次方程涨降价销售问题

(3)一元二次方程图形面积问题

(4)一元二次方程储蓄问题

(5)一元二次方程循环握手或者病毒传播问题

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