2023年初中数学知识点——二次函数顶点坐标公式

　　函数在数学中占有很大的比例，但是函数的学习却很复杂。其考察的内容有很多方面，开口方向、对称轴及坐标公式都是考察的重点。下面小编为大家整理了二次函数顶点坐标的相关公式，希望能帮到大家。

　　一、基本简介

　　一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

　　主要特点

　　“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。

　　二次函数图像与X轴交点的情况

　　当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。

　　当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。

　　当△=b2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

　　二、二次函数图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

　　轴对称

　　二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

　　对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

　　特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。

　　a,b同号，对称轴在y轴左侧.

　　a,b异号，对称轴在y轴右侧.

　　顶点

　　二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)即(-b/2a,(4ac-b2/4a).

　　当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k。

　　h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a。

　　开口方向和大小

　　二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

　　决定对称轴位置的因素折叠

　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

　　决定与y轴交点的因素

　　常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

　　二次函数图像与y轴交于（0,C）

　　注意：顶点坐标为（h,k)，与y轴交于（0,C)。

　　与x轴交点个数

　　a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。

　　k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。

　　a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。

　　当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k

　　当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在xh范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y
　　当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数

　　三、二次函数公式汇总：交点式、两根式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则称y为x的二次函数。顶点坐标（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）

　　（2）顶点式：y=a（x-h）2+k或y=a（x+m）^2+k（a，h，k为常数，a≠0）。

　　（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）

　　（4）两根式：y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.

　　说明：

　　（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a（x-h）2+k，抛物线的顶点坐标是（h，k），h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线a（x-h）2的顶点在x轴上；当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。

　　（2）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a（x-x1）（x-x2）。

　　数学的学习并不难，重要的是找到学习的兴趣，兴趣是学习最好的老师，是走向成功的阶梯。

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