2023年初中数学锐角三角函数的妙用

我们先来回顾一下三角函数的定义。

也就是说，锐角三角函数首先需要在直角三角形中才能使用，其次，我们所求的正弦、余弦和正切所对应的角都是锐角，所以初中所学的是“锐角三角函数”。最后，我们可以发现的，当角度确定了，三角函数值也就确定了，反过来也成立——当三角函数值确定了，(锐角)角度也可以确定

真题展示

我们以2019年无锡中考的一道题为例。

抽丝剥茧

首先通过下面视频来分析题意:

，时长05:27

分析之后我们发现，该题涉及的基础知识点和需要建立的条件反射有下面几个.

1、 两条线之间的距离处处相等，则这两条线平行

2、动态问题，动点的轨迹图象的确定很重要。可以在草稿纸上描绘、猜测

3、如果一个三角形的三边关系确定，面积知道，那么需要想到该三角形的周长是可求的

4、两个相似三角形，要求其中一个的周长，只需求出另一个图形的周长和这两个三角形的相似比即可

5、数学读题不是眼睛看，而是边读题，边在图上进行标记，同时可以几何题干信息和图象描绘基础辅助线.

从上面的分析我们发现如果能求出AD的长，那么这题也就解出来了。回顾我们前面的分析，发现△ADA'是一个直角三角形，而且知道一边，那么如果我们能得到一个角的三角函数值，那么该三角形也就解出来了。但现在我们一个角的都不知道，所以需要选取一个可能求得出来的角去试试。

根据条件，我们发现(点A'到AC和AB的距离相等，得到点A'在∠CAB的角平分线上)，而且∠CAB的三角函数值是可求的。

所以我们的问题就变成：已知一个角的三角函数值，怎么求这个角的半角的三角函数值。

要求半角，首先我们需要构造半角，在初中阶段，涉及倍半角关系主要有这么几种：

①角平分线;

②等腰三角形顶角的外角是底角的两倍;

③等腰三角形三线合一;

④菱形、正方形对角线;

⑤同弧或等弧所对的圆心角与圆周角

放在这题中，③④⑤直接排除，①条件本就这么给的，因此我们考虑②。我们先回顾②指的是什么。

如图，△ABC中，AB=AC，则∠1=2∠A=2∠C

那么这题的辅助线也就出来，接下来再跟着视频看后续的思考方向。

，时长01:46

真题解答

所以该题的解题步骤如下：

回顾整个分析、解答过程，我们发现该题涉及的都是初中阶段最基础的图形性质，甚至还有小学就学过的知识点，可以说这些都是大家耳熟能详的，稍微不容易想到的可能就是等腰三角形顶角外角与底角的2倍关系，我们再来看看是如何使用的。

真题演练

我们接下来用三角函数的思想来解一下2016成都的这道中考题。

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