2023年初中数学轴对称知识点及例题

1.轴对称的定

把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。

【轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个图形一定全等。】

2.轴对称图形的定义

把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

【轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定。】

3.轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的主要区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形;轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形;反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线(原对称轴)对称.。

4.轴对称的性质

轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分;成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称;成轴对称的两个图形全等。

5.线段的轴对称性

①线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。

②线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

③线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

【①线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。②三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。】

6.线段的垂直平分线

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。

7.角的轴对称性

(1)角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。

(2)角平分线上的点到角两边的距离相等。

(3)角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

【①用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等。若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE=PF】

【②用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE=PF，则PD平分∠ADB 】

8.角平分线的画法

角平分线的尺规作图

·真题解析

考点1 判别轴对称图形

例1

(2013年咸宁)下列学习用具中，不是轴对称图形的是( 　)

分析

：根据轴对称图形的概念：把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，对各选项逐一判断即可。

解：

选项A、B、D是轴对称图形，选项C不是轴对称图形，故选C。

考点2 线段的垂直平分线的性质

例2

(2013年泰州)如图1，在△ABC中，AB+AC=6 cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为　　cm.

分析：

根据线段垂直平分线的性质，可得DC=DB，进而可确定△ABD的周长。

解：

因为l垂直平分BC，所以DB=DC

所以△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6 cm.故填6。

考点3 画轴对称图形

例3

(2013年哈尔滨)如图2所示，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C。

分析：

过点A画直线MN的垂线，垂足为O，在垂线上截取OD=OA，D就是A关于直线MN的对称点;同理，画出点B关于直线MN的对称点C;连接BC，CD，DA，即可得到四边形ABCD。

解：

正确画图如图3所示。

例4

(2013年重庆)作图题：(不要求写作法)如图4所示，△ABC在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A(-2，1)，B(-4，5)，C(-5，2)。

⑴作△ABC关于直线l：x=-1对称的△A1B1C1，其中，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1;

⑵写出点A1，B1，C1的坐标。

分析：

⑴根据网格结构找出点A，B，C关于直线l的对称点A1，B1，C1，然后顺次连接即可;⑵直接根据平面直角坐标系写出点A1，B1，C1的坐标。

解：

⑴画△A1B1C1如图5所示。

⑵A1(0，1)、B1(2，5)、C1(3，2)。

考点4 关于x轴或y轴对称的点的坐标

例5

(2013年遂宁)将点A(3，2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是(　　)

A.(-3，2) B.(-1，2) C.(1，2) D.(-1，-2)

分析：

先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解。

解：

因为将点A(3，2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，所以点A′的坐标为(-1，2)。所以点A′关于y轴对称的点的坐标是(1，2)，故选C。

考点5 等腰三角形的性质

例6

(2013年台湾)如图6，在长方形ABCD中，M为CD中点，分别以B，M为圆心，BC，MC长为半径画弧，两弧相交于点P。若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为(　 )

A.20° B.35° C.40° D.55°

分析：

根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据“等边对等角”求解即可.

解：

因为分别以B，M为圆心，BC，MC长为半径的两弧相交于点P，所以BP=BC，MP=MC。

因为∠PBC=70°，所以∠BCP=1/2(180°-∠PBC)=1/2(180°-70°)=55°

在长方形ABCD中，∠BCD=90°，所以∠MCP=90°-∠BCP=90°-55°=35°

所以∠MPC=∠MCP=35°，故选B。

考点6 等边三角形的性质

例7

(2013年黔西南州)如图8，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为

分析：

根据等边三角形的性质，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数。

解：

因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°，∠ACD=120°

因为CG=CD，所以∠CDG=30°，∠FDE=150°

因为DF=DE，所以∠E=15°，故填15°

考点7含300角的直角三角形的性质

例8

(2013年泰安)如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是

分析：

根据题意推得∠DBE=30°，则在Rt△DBE中由“30°角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度。

解：

因为FD⊥AB，所以∠ACB=∠FDB=90°

因为∠F=30°，所以∠A=∠F=30°

又DE垂直平分线AB，所以∠EBA=∠A=30°

因为DE=1，所以BE=2DE=2，故填2。

·误区点拨

误区1 轴对称含义理解不清致错

例1

如图1中的(1)、(2)两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴。

错解：

如图1所示的直线MN

剖析：

沿直线MN对折，在直线MN两旁的图形的确可以互相重合，但这里要求的是画(1)、(2)的对称轴，而MN并不是这两个图形的对称轴。画成轴对称的两个图形的对称轴时要注意所指的是哪个两个图形，特别注意当这两个图形本身也是轴对称图形时，不要把各自图形的对称轴作为两个图形的对称轴。

正解：

如图1所示的直线PQ

误区2

例2

如图2，已知A，C两点关于BD对称，下列结论：①OA=OC;②OB=OD;③AD=CD;④AB=CB。其中正确的有 (填序号即可).

错解：

填①②③④.

剖析：

错解“A，C两点关于BD对称”错误理解为“AC，BD互相垂直平分”，实际上OA=OC，AB=CB，AD=CD成立，但OB=OD不一定成立。

正解：

填①③④.

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