2023年初中数学：判定一个四边形是特殊四边形的步骤

判定一个四边形是特殊四边形的步骤：

常见考法

(1)利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算;

(2)灵活运用判定定理证明一个四边形(或平行四边形)是菱形、矩形、正方形;

(3)一些折叠问题;

(4)矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切联系。所以，以此为背景可以设置许多考题。

误区提醒

(1)平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有，这点易出现混淆;

(2)矩形、菱形具有的性质正方形都具有，而正方形具有的性质，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，这点也易出现混淆;

(3)不能正确的理解和运用判定定理进行证明，(如在证明菱形时，把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形);(3)再利用对角线长度求菱形的面积时，忘记乘;(3)判定一个四边形是特殊的平行四边形的条件不充分。

【典型例题】(2010天门、潜江、仙桃)正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.

(1)当点P与点O重合时(如图①)，猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论;

(2)当点P在线段DB上(不与点D、O、B重合)时(如图②)，探究(1)中的结论是否成立?若成立，写出证明过程;若不成立，请说明理由;

(3)当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断(1)中的结论是否成立?若成立，直接写出结论;若不成立，请写出相应的结论.

【解析】(1)AP=EF，AP⊥EF，理由如下：

连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M;

∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，

∴四边形OECF是正方形，

∴OM=OF=OE=AM，

∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，

∴△AMO≌△FOE，

∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF.

(2)题(1)的结论仍然成立，理由如下：

延长AP交BC于N，延长FP交AB于M;

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，

∴四边形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°;

又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE，

∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF

∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，

∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF.

(3)题(1)(2)的结论仍然成立;

如右图，延长AB交PF于H，证法与(2)完全相同

     编辑推荐：

      2023年中考各科目重点知识汇总

　　 欢迎使用手机、平板等移动设备访问中考网，2024中考一路陪伴同行！>>点击查看