2023年初中数学：平面直角坐标系(概念，距离公式，中点公式)

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，取向右为正方向。竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

有序数对：我们把(a，b)这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对。例如直角坐标系中有一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，它在x轴对应的数是a，在y轴对应的数是b，那么(a，b)叫做点P的坐标。

利用平面直角坐标系，可以把组成几何图形的点和满足方程的每一组数联系起来，代数和几何合二为一。

象限(坐标轴上的点不属于任何象限)

两条坐标轴把坐标平面分成四个部分(从右上部分开始逆时针方向分为1，2，3，4象限)

右上方叫第一象限：x>0，y>0

左上方叫第二象限：x<0，y>0

左下方叫第三象限：x<0，y<0

右下方叫第四象限：x>0，y<0

横坐标轴上的点：(x，0);纵坐标轴上的点：(0，y)。

距离问题：

点(a，b)距x轴的距离为b的绝对值，距y轴的距离为a的绝对值。

坐标轴上两点间距离：点A(a1，0)与点B(a2，0)的距离AB为a1-a2的绝对值。

点A(0，b1)与点B(0，b2)的距离AB为b1-b2的绝对值。

根据勾股定理，可以计算出点(a，b)与原点的距离，以及任意两点(a，b)(c，d)间距离。

平行于坐标轴的直线

平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同;平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。

角平分线

若点(x，y)在一、三象限角平分线上，则x=y。若点(x，y)在二、四象限角平分线上，则x=-y。

与坐标轴、原点对称

关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。

关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。

关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数。

平移

在平面直角坐标系中，将点(x，y)

向右平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y);

向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x-a，y);

向上平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b);

向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y-b)。

图形的平移，例如线段，三角形等的平移可以当作多个点。

中点公式

数轴(一维)上两点a，b的中点公式是(a+b)/2。平面直角坐标系(二维)上两点A(a1，b1)与B(a2，b2)的中点P的横坐标是(a1+a2)/2，纵坐标是(b1+b2)/2。参照下图来理解，点A在x轴对应a1，点B在x轴对应a2，中点P在x轴对应(a1+a2)/2，纵坐标同理。

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