2023年初中数学代数知识点和公式：平均数

平均数

1、

①定义：一般的，如果有n个数x1x2x3… xn，则：

= (x1+x2+…+xn)÷n

②当一组数据x1x2 x3… xn各个数值较大时，可将数据同时减去一个适当的常数a ，得到：x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn=xn/-a则x拔= x拔/+ a

常数a通常取接近于这组数据的平均数(约略估计)的整数

③加权平均数：如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现fk次，…… xk出现fn次(f1+f2+…+fk=n )则

=(x1f1+ x2f2+ x3f3+… +xkfk)÷n

2、

几个概念：

①总体：考察对象的全体

②个体：每一个考察对象

③样本：从整体中抽取的一部分个体叫总体的一个样本

④样本容量：样本中个体得数目

⑤总体平均数：总体中所有个体的平均数

⑥样本平均数：样本中所有个体的平均数

例1：初三全年级4个班数学测验平均成绩分别是 x拔1x拔2x拔3x拔4则全年级平均成绩是( x拔1+ x拔2+ x拔3+ x拔4)÷4 这种算法不一定正确

⑴当各班人数相同时算式成立

⑵当各班人数不同时算式不成立

例2：已知两组数x1x2x3… xn和y1y2y3…yn的平均数分别x拔和 y拔，求：

⑴一组新数据8x1 +8x2 +8x3 +… + 8xn的平均数(8 x拔)

⑵一组新数据x1+ y1x2+ y2x3+ y3… xn+ yn的平均数

(答案：x拔+ y拔)

例3：一组数据的平均数能大于其中每个数据吗?能大于除其中一个数据以外的所有数据吗?(答案：不能;能，如6、2、2、2的平均数是3)

例4：某校录取新生的平均成绩是535分，如果某同学成绩是539分，他肯定能被这所学校入取吗?为什么?(不一定)

例5：为了解某地区初三年级男学生的体高，从初三学生中抽测500名男生的体高，在这个问题中，下面说法正确的有()个?

⑴总体是指该地区初三年级男生的全体

⑵个体是指该地区的每一位初三年级的男生

⑶样本容量是500名

⑷样本是指500名学生的体高

分析：因为本题考察对象是初三学生的体高，而不是学生，故⑴⑵都错，又因为样本容量是一个数，不带单位，故⑶错

例6：某衬衫店为了准确进货，对一周内商店各种尺码的男衬衫的销售情况进行统计，结果如下：38码的20件，39码的23件，40码的26件，41码的25件、42码的21件、43码的18件。则该组数据中的众数是，中位数是

(答案：众数是40码;第67件居中间，所以中位数是40码。注意：不要答成众数是26，众数是出现次数最多的数据，而不是出现最多的次数)

例7、养鱼专业户为了估测鱼的重量，捞出10条鱼称的其重量如下：480g 1条、490g 2条、500g 3条、520g 4条，求样本平均数(答案：504g)

例8、为了估测湖里有多少鱼，先捕上100条做上标记，然后放回湖里，过一段时间，等待标记的鱼完全和鱼群汇合后，再捕上200条，发现其中带标记的鱼有20条，湖里大约有多少条鱼?(答案：x：100 = 200：20;1000条)

例9、当5个非负整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6 ，则这五个整数可能的最大和是多少?最小和是多少?(答案：21 ;17)

3、

概念：

⑴众数：一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

理解：注意出现次数最多的数据和出现次数最多次数两种说法的不同

⑵中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数

⑶对众数、平均数、中位数的理解：

①众数说明了该数据出现的次数最多;中位数说明了该组数据以中位数为点将数据划分为数据各占一半的两部分。平均数反应了改组数据的平均值。

4、

中位数的找法：

给我们一组数组，将该数组由小到大排列，设数组的个数为n，

1、当n为奇数时，n÷2得一小数，用进一法取整数f，则，第f个数就是该数组的中位数。

2，当n为偶数时，n÷2得一整数m，第m和m+1个数的平均数就是该数组的中位数。

3、众数、中位数、平均数从不同角度描述了一组数据的平均趋势，其中，又以平均数应用最为广泛

例1、判断题：

⑴只要一组数据中有一个数字变动，那么平均数就一定会跟着变动(答案：对)

⑵平均数一定有现实意义(答案：错)

⑶在一组数据中加入它的平均数，则新数据组中平均数不变

(答案：对)

例2、草地上有甲乙两群人正在做游戏，甲群人的年龄分别是：12、12、12、13、14、15、16、16、27;乙群人的年龄分别是：3、4、4、5、5、6、6、6、55、60

⑴求出两群人年龄的平均数、中位数、众数

⑵甲乙两群人年龄的平均数能代表他们各自年龄的特征吗?若不能代表，那么哪个数据能代表?

⑶说明：一般地，在一组数据中数值特别大(或特别小)的数据看作异常数，在有异常数的数据中，平均数和中位数可能相差很大，此时用中位数来反映这组数据的一般水平比较合适

例3、刘晓和尹凯是学习上的竞争对手，阶段考试成绩先出了语、数、外三门，刘晓的平均分较尹凯高出2分，物理分出来时，尹凯的平均分反超过刘晓1分了，化学成绩仍未出来

⑴在物理考试中，刘晓比尹凯低多少分?

⑵为保证自己的总平均分仍比尹凯多1分，刘晓的化学要比尹凯多多少分?

分析：⑴三门中刘晓高出6分，四门中刘凯高出4分，所以刘晓的物理比尹凯低10分;四门中刘晓比尹凯低4分，为保证刘晓比尹凯总平均分仍高1分，即总分多5分，所以刘晓的化学要比尹凯多9分

5、

方差：

⑴引入方差的目的：对于一组数据，除需要了解它们的一般水平外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)

⑵概念：设在一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1- x拔)2、(x2- x拔)2、…、(xn- x拔)2。那么，我们用它们的平均数来衡量这组数据的波动的大小，并把它叫做这组数据的方差

即：S2=[(x1-x拔)2+ (x2-x拔)2+ … + (xn- x拔)2]/n

⑶意义：一组数据的方差越大，这组数据的波动越大

⑷计算方差的两个变形公式

⑴ S2=[(x12+ x22+ … + xn2) - n x拔2]/n

⑵若x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn/=xn-a( 其中, x1、x2、…、xn是原已知的n个数,a是接近这组数据的平均数的一个常数)则

S2=[(x1/2+ x2/2+ … + xn/2) - n x拔/2]/n

6、

标准差:

⑴概念:方差的算术平方根叫这组数据的标准差

⑵意义: 标准差也是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量,标准差越大,数据的波动越大,反之亦然。

7、

方差、标准差综合概括：

一般地，若一组数据x1、x2、…、xn的平均数为x拔，方差为S2，标准差为S ，则：

⑴数组：x1+ax2+a … xn+a的平均数为 x拔+a ，方差和标准差不变

⑵数组：kx1kx2… kxn的平均数为 kx拔，方差变为k2S2，标准差为kS

⑶数组：k x1+akx2+ a …kxn+a的平均数为kx拔+a，方差为k2S2，标准差为Ks

例1：对一组数：-2、-1、x、1、2，若x为不大于10的非负数，方差为整数，计算标准差

答案：根据S2=[(x12+x22+ …+xn2)-n2]/n 、 =x/5 、x=0或x=5 ∴S2=(10+4x2/5)/5 …

例2:已知S2=[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x30-5)2]/30 ，则各数据的平方和不可能等于①900 ②850 ③750 ④650

答案：∵S2=[(x12+x22+…+xn2)-n x拔2]/n

∴(x12+x22+…+xn2)-n x拔2≥0 故选④

8、

频率分布

⑴组距：指每个小组的两个端点之间的距离

分组数=(最大值-最小值)/组距

⑵频数：把数据总数分成若干小组，落在各个小组内的数据的个数叫频数

⑶频率：每一小组的频数与数据总数的比值叫这一小组的频率

9、

画频率分布直方图

⑴横半轴：各组组距

纵半轴：频率与组距的比。即 频率/组距

⑵小长方形的高=频率/组距=频数/(数据总数×组距)

∵(1/数据总数×组距)为常数

∴小长方形的高与频数成正比

⑶在频率分布直方图中,由于各小长方形的面积等于响应各组的频率、而各组频率的和等于1,因此, 各小长方形面积的和等于1

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