2023年初中数学一元一次方程的应用：利润问题

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：

由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答.

要点诠释：

(1)“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系;(2)“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数;(3)“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一;(4)“解”就是解方程，求出未知数的值;(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可;(6)“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.

知识点二、常见列方程解应用题的几种类型

(1)基本量及关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.(2)寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等.(1)三个基本量间的关系：路程=速度×时间(2)基本类型有：①相遇问题(或相向问题)：Ⅰ.基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.②追及问题：Ⅰ.基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ.寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程;第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.③航行问题：Ⅰ.基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，顺水速度-逆水速度=2×水速;Ⅱ.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析.如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式：(1)总工作量=工作效率×工作时间;(2)总工作量=各单位工作量之和.寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.

(2)标价=成本(或进价)×(1+利润率)

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(3) 实际售价=标价×打折率(4) 利润=售价-成本(或进价)=成本×利润率注意：“商品利润=售价-成本”中的右边为正时，是盈利;当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.(1)利息=本金×利率×期数(2)本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数)(3)实得利息=利息-利息税(4)利息税=利息×利息税率(5)年利率=月利率×12(6)月利率=年利率×1/12

典型题5：难度★★

某商场用1400元购进了甲、乙两种商品，共100件，进价分别是18元、10元.(1)求甲、乙两种商品各购进了多少件?(2)商场搞促销活动，若同时购买甲、乙两种商品各1件，可享受标价的8折优惠，此时这两种商品的利润率是10%，求这两种商品的标价总共多少元?

【答案解析】

解：(1)设甲购进了x件，则乙购进了(100﹣x)件，由题意，得：18x+10(100﹣x)=1400，解得：x=50，100﹣x=50，答：甲、乙两种商品各购进了50件;

(2)设两种商品的标价总共y元.由题意，得：(18+10)×(1+10%)=0.8y，解得：y=38.5，答：两种商品的标价总共38.5元.

答:这个月的进货价格相对上个月的增长率为20%.

典型题6：难度★★

商店经销某商品,第二次进货价是第一次进货价的九折,而售出价不变,利润率比第一次购销该商品时的利润率增加了15个百分点.求商店第一次购销该商品时所定的利润。

【解题思路】

抓住“售出价”不变得出等式，注意运用利润率的等量关系式列式.

【答案解析】

方法1：

设商店第—次购销该商品时所定利润率为x%,则第二次购销该商品时的利润率为(x+15)%;

设第一次进货价为m元,则第二次进货价为0.9m元.

两次的售出价可分别表示为m(1+x%)元和0.9m[1+(x+15)%]元,根据题意,得m(1+x%)=0.9m[1+(x+15)%]因为m≠0,方程两边同时除以m,得(1+x%)=0.9[1+(x+15)%].

解这个方程,得x=35.

答:商店第—次购销该商品时所定的利润率为35%.

方法2：

设第—次进货价为1个单位.

根据题意,同样可到1+x%=0.9[1+(x+15)%].

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