2023年初中数学因式分解常考5大类专项训练

1.将下列各式分解因式

(1)3p2﹣6pq;(2)2x2+8x+8

【分析】

(1)提取公因式3p整理即可;

(2)先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

【解答】

(1)3p2﹣6pq=3p(p﹣2q)，

(2)2x2+8x+8=2(x2+4x+4)=2(x+2)2.

2.将下列各式分解因式

(1)x3y﹣xy (2)3a3﹣6a2b+3ab2.

【分析】

(1)首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可;

(2)首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可.

【解答】

(1)原式=xy(x2﹣1)=xy(x+1)(x﹣1);

(2)原式=3a(a2﹣2ab+b2)=3a(a﹣b)2.

3.分解因式

(1)a2(x﹣y)+16(y﹣x);(2)(x2+y2)2﹣4x2y2.

【分析】

(1)先提取公因式(x﹣y)，再利用平方差公式继续分解;

(2)先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解.

【解答】

(1)a2(x﹣y)+16(y﹣x)

=(x﹣y)(a2﹣16)

=(x﹣y)(a+4)(a﹣4)

(2)(x2+y2)2﹣4x2y2

=(x2+2xy+y2)(x2﹣2xy+y2)

=(x+y)2(x﹣y)2

4.分解因式：

(1)2x2﹣x;(2)16x2﹣1;

(3)6xy2﹣9x2y﹣y3;(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2.

【分析】

(1)直接提取公因式x即可;

(2)利用平方差公式进行因式分解;

(3)先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解;

(4)把(x﹣y)看作整体，利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】

(1)2x2﹣x=x(2x﹣1);

(2)16x2﹣1=(4x+1)(4x﹣1);

(3)6xy2﹣9x2y﹣y3=﹣y(9x2﹣6xy+y2)

=﹣y(3x﹣y)2;

(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2

=[2+3(x﹣y)]2=(3x﹣3y+2)2.

5.因式分解：

(1)2am2﹣8a;(2)4x3+4x2y+xy2

【分析】

(1)先提公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解;

(2)先提公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

【解答】

(1)2am2﹣8a=2a(m2﹣4)=2a(m+2)(m﹣2);

(2)4x3+4x2y+xy2=x(4x2+4xy+y2)=x(2x+y)2.

6.将下列各式分解因式：

(1)3x﹣12x3(2)(x2+y2)2﹣4x2y2.

【分析】

(1)先提公因式3x，再利用平方差公式继续分解因式;

(2)先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式.

【解答】

(1)3x﹣12x3=3x(1﹣4x2)=3x(1+2x)(1﹣2x);

(2)(x2+y2)2﹣4x2y2=(x2+y2+2xy)(x2+y2﹣2xy)

=(x+y)2(x﹣y)2.

7.因式分解：

(1)x2y﹣2xy2+y3;(2)(x+2y)2﹣y2.

【分析】

(1)先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方式继续分解因式;

(2)符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式进行因式分解即可.

【解答】

(1)x2y﹣2xy2+y3=y(x2﹣2xy+y2)

=y(x﹣y)2;

(2)(x+2y)2﹣y2

=(x+2y+y)(x+2y﹣y)

=(x+3y)(x+y).

8.对下列代数式分解因式：

(1)n2(m﹣2)﹣n(2﹣m);

(2)(x﹣1)(x﹣3)+1.

【分析】

(1)提取公因式n(m﹣2)即可;

(2)根据多项式的乘法把(x﹣1)(x﹣3)展开，再利用完全平方公式进行因式分解.

【解答】

(1)n2(m﹣2)﹣n(2﹣m)

=n2(m﹣2)+n(m﹣2)

=n(m﹣2)(n+1);

(2)(x﹣1)(x﹣3)+1

=x2﹣4x+4=(x﹣2)2.

9.分解因式：a2﹣4a+4﹣b2.

【分析】

本题有四项，应该考虑运用分组分解法.观察后可以发现，本题中有a的二次项a2，a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组，先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式进行分解.

【解答】

a2﹣4a+4﹣b2=(a2﹣4a+4)﹣b2

=(a﹣2)2﹣b2=(a﹣2+b)(a﹣2﹣b).

10.分解因式：a2﹣b2﹣2a+1

【分析】

当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解.本题中有a的二次项，a的一次项，有常数项.所以要考虑a2﹣2a+1为一组.

【解答】

a2﹣b2﹣2a+1=(a2﹣2a+1)﹣b2

=(a﹣1)2﹣b2=(a﹣1+b)(a﹣1﹣b).

11.把下列各式分解因式：

(1)x4﹣7x2+1;(2)x4+x2+2ax+1﹣a2

(3)(1+y)2﹣2x2(1﹣y2)+x4(1﹣y)2

(4)x4+2x3+3x2+2x+1

【分析】

(1)首先把﹣7x2变为+2x2﹣9x2，然后多项式变为x4﹣2x2+1﹣9x2，接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解;

(2)首先把多项式变为x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2，然后利用公式法分解因式即可解;

(3)首先把﹣2x2(1﹣y2)变为﹣2x2(1﹣y)(1﹣y)，然后利用完全平方公式分解因式即可求解;

(4)首先把多项式变为x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1，然后三个一组提取公因式，接着提取公因式即可求解.

【解答】

(1)x4﹣7x2+1=x4+2x2+1﹣9x2

=(x2+1)2﹣(3x)2=(x2+3x+1)(x2﹣3x+1);

(2)x4+x2+2ax+1﹣a=x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2

=(x2+1)-(x﹣a)2=(x2+1+x﹣a)(x2+1﹣x+a);

(3)(1+y)2﹣2x2(1﹣y2)+x4(1﹣y)2

=(1+y)2﹣2x2(1﹣y)(1+y)+x4(1﹣y)2

=(1+y)2﹣2x2(1﹣y)(1+y)+[x2(1﹣y)]2

=[(1+y)﹣x2(1﹣y)]2=(1+y-x2+x2y)2

(4)x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1

=x2(x2+x+1)+x(x2+x+1)+x2+x+1

=(x2+x+1)2.

12.把下列各式分解因式：

(1)4x3﹣31x+15;(2)2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4;

(3)x5+x+1;(4)x3+5x2+3x﹣9;

【分析】

(1)需把﹣31x拆项为﹣x﹣30x，再分组分解;

(2)把2a2b2拆项成4a2b2﹣2a2b2，再按公式法因式分解;

(3)把x5+x+1添项为x5﹣x2+x2+x+1，再分组以及公式法因式分解;

(4)把x3+5x2+3x﹣9拆项成(x3﹣x2)+(6x2﹣6x)+(9x﹣9)，再提取公因式因式分解;

(5)先分组因式分解，再用拆项法把因式分解彻底.

【解答】

(1)4x3﹣31x+15=4x3﹣x﹣30x+15

=x(2x+1)(2x﹣1)﹣15(2x﹣1)=(2x﹣1)(2x2+1﹣15)

=(2x﹣1)(2x﹣5)(x+3);

(2)2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4

=4a2b2﹣(a4+b4+c4+2a2b2﹣2a2c2﹣2b2c2)

=(2ab)2﹣(a2+b2﹣c2)2

=(2ab+a2+b2﹣c2)(2ab﹣a2﹣b2+c2)

=(a+b+c)(a+b﹣c)(c+a﹣b)(c﹣a+b);

(3)x5+x+1=x5﹣x2+x2+x+1

=x2(x3﹣1)+(x2+x+1)

=x2(x﹣1)(x2+x+1)+(x2+x+1)

=(x2+x+1)(x3﹣x2+1);

(4)x3+5x2+3x﹣9=(x3﹣x2)+(6x2﹣6x)+(9x﹣9)

=x2(x﹣1)+6x(x﹣1)+9(x﹣1)

=(x﹣1)(x+3)2;

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