2024年初中数学中考复习：反比例函数及其综合运用

一、反比例函数的定义

一般地，形如k/x(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

二、确定反比例函数的关系式

由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一.对x、 y的对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是:

(1)设所求的反比例函数为: y=k/x(k≠0);

(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数k的方程:

(3) 解方程求出待定系数k的值:

(4)把求得的k值代回所设的函数关系式中.

三、反比例函数的图像和性质

1、反比例函数的图像特征:

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限;

反比例函数的图像关于原点对称，永远不会与x 轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

反比例函数的图象和性质

1.会用描点的方法画反比例函数的图象;(重点)

2.理解反比例函数图象的性质.(重点，难点)

合作探究

探究点一：反比例函数的图象

【类型一】反比例函数图象的画法

作函数y=的图象.

解析：根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可.

解：列表：

描点、连线：

方法总结：作图的一般步骤为：①列表;②描点;③连线;④注明函数解析式.

【类型二】反比例函数与一次函数图象位置的确定

在同一坐标系中(水平方向是x轴)，函数y=和y=kx+3的图象大致是(　　)

解析：A.由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象中k>0且过点(0，3)一致，故A选项正确;B.由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象中k>0且过点(0，3)矛盾，故B选项错误;C.由函数y=的图象可知k<0与y=kx+3的图象中k<0且过点(0，3)矛盾，故C选项错误;D.由函数y=的图象可知k>0与y=kx+3的图象中k<0且过点(0，3)矛盾，故D选项错误.故选A.

方法总结：解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定k的符号，再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确;如果不符合，一定错误.

【类型三】实际问题中函数图象的确定

若按xL/min的速度向容积为20L的水池中注水，注满水池需ymin.则所需时间ymin与注水速度xL/min之间的函数关系用图象大致可表示为(　　)

解析：∵水池的容积为20L，∴xy=20，∴y=(x>0)，故选B.

方法总结：解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象.

【类型四】反比例函数图象的对称性

若正比例函数y=-2x与反比例函数y=图象的一个交点坐标为(-1，2)，则另一个交点坐标为(　　)

A.(2，-1) B.(1，-2)

C.(-2，-1) D.(-2，1)

解析：∵正比例函数y=-2x与反比例函数y=的图象均关于原点对称，∴两函数的交点也关于原点对称.∵一个交点的坐标是(-1，2)，∴另一个交点的坐标是(1，-2).故选B.

方法总结：反比例函数y=(k≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是一、三(或二、四)象限角平分线所在的直线，对称中心是坐标原点.

探究点二：反比例函数的性质

【类型一】根据解析式判定反比例函数的性质

已知反比例函数y=-，下列结论不正确的是(　　)

A.图象必经过点(-1，2)

B.y随x的增大而增大

C.图象分布在第二、四象限

D.若x>1，则-2

解析：A.(-1，2)满足函数解析式，则图象必经过点(-1，2)，命题正确;B.在第二、四象限内y随x的增大而增大，忽略了x的取值范围，命题错误;C.命题正确;D.根据y=-的图象可知，在第四象限内命题正确.故选B.

方法总结：解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质.

【类型二】根据反比例函数的性质判定系数的取值范围

在反比例函数y=的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是(　　)

A.-1B.3 C.1 D.2

解析：∵反比例函数y=的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而减小，∴1-k>0，解得k<1.故选A.

方法总结：对于函数y=，当k>0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小;当k<0时，在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍.

三、板书设计

1.反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.

2.反比例函数的性质：

(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小;

(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大.

3、反比例函数的性质

(1)如图1，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、 三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小:

(2) 如图2，当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大:

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