2024年初中数学圆知识点：重难点必考

一

圆及圆的相关量的定义

1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

二

有关圆的字母表示方法

圆--⊙半径—r 弧--⌒ 直径—d

扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S

三

有关圆的基本性质与定理

1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)：P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r; P在⊙O内，PO

2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。

8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。

9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离)：AB与⊙O相离，PO>r;AB与⊙O相切，PO=r;AB与⊙O相交，PO

10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P)：外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r

四

有关圆的计算公式

1.圆的周长C=2πr=πd

2.圆的面积S=s=πr2

3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=nπr2/360=rl/2

5.圆锥侧面积S=πrl

五

圆的方程

1.圆的标准方程

在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

2.圆的一般方程

把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2

相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r.

六

圆的定理

1.不在同一直线上的三点确定一个圆

2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2

圆的两条平行弦所夹的弧相等

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4.圆是定点的距离等于定长的点的集合

5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

7.同圆或等圆的半径相等

8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

11.定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

12.①直线L和⊙O相交d

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d>r

13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

15.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

16.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角

19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

20.①两圆外离d>R+r(R>r)

②两圆外切d=R+r(R>r)

③两圆相交R-rr)

④两圆内切d=R-r(R>r)

⑤两圆内含dr)

21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

22.定理把圆分成n(n≥3)：

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

26.正三角形面积√3a/4a表示边长

27.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

28.弧长计算公式：L=n兀R/180

29.扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2

30.内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

31.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

32.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

33.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

34.弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r

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