2024年初一数学下册：二元一次方程组8种典型例题详解

一、和差倍数问题

知识梳理：

和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。

典型例题：

甲、乙两人分别以不变的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字。问甲、乙两人每分钟各打多少个?

解：设甲每分钟打x个字，乙每分钟打y个字。根据题意可列方程组为

2(x+y)=240①

x-y=10②

由①得x+y=120 ③，

②+③ 得2x=130，

解得x=65，将x=65代入②

得：y=55。

答：甲每分钟打65个字，乙每分钟打55个字。

思路点拨：

由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。

二、产品配套问题

典型例题：

某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个，螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品正好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母?

解：设分配x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母。由题意可

列方程组为

x+y=22①

2x1200x=2000y②

由②得6x=5y③，

由① 得x=22-y，

代入③得6(22-y)=5y，

整理得11y=132，解得y=12，则x=22-12=10。

答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。

思路点拨：

本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名;第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反)。

三、工作量问题

知识梳理：

我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1;

工作量=工作效率×工作时间;

总工作量=每个个体工作量之和;

工作效率=工作量÷工作时间(即单位时间的工作量);

工作效率=1÷完成工作的总时间。

典型例题：

现要整理一批文件，由1个人完成需要40个小时，计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起再做8小时，完成这项任务，假设这些人的工作效率都相同，则应先安排多少人工作?

解：设总工作量为1，应先安排x人工作。则每个人的工作效率为1/40，由题意可列方程为

4x·1/40+8(x+2)·1/40=1，

整理得3x/10=3/5，

解得x=2。

答：应先安排2人工作。

思路点拨：

首先将工作总量设成1，可以得到每人的工作效率，再根据x人先做4小时可以完成4x·1/40工作量，增加2人后，(x+2)人工作8小时完成8(x+2)1/40工作量，总量为1可以列出方程，解方程求解即可。

四、利润问题

知识梳理：

商品利润=商品售价-商品进价;

利润率=利润÷进价×100%。

典型例题：

商店新进一批商品准备出售，若打8折出售，则10天可以售完，并能获利10000元;若打75折出售8天可以售完，可获利8000元，商品存放一天需要100元的存货费，求这批商品的本钱(购货价)和预售总价各是多少?

解：设这批商品的本钱是x元，预售总价是y元。由题意可列方程组为

0.8y-x-10·100=1000

0.75y-x-8·100=8000整理得

0.8y-x=11000①

0.75y-x=8800②

得①-②0.05y=2200，解得

y=44000，则x=08·44000-11000=24200。

答：这批商品的本钱是24200元，预售总价是44000元。

思路点拨：

本题有两个未知数，即商品本钱和预售总价，也有两个明显的等量关系，即两种打折出售的获利情况，根据售价-成本-存货费用=利润，可以列出方程组求解即可。

五、行程问题

路程=速度×时间;

相遇问题：

快行距+慢行距=原距;

追及问题：

快行距-慢行距=原距;

航行问题：

顺水/风速度=静水/风速度+水流/风速度;

逆水/风速度=静水/风速度-水流/风速度;

典型例题：

A B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出。

(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇;如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度;

(2)如果慢车先开出1小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?

解：(1)设快车的速度为x千米每小时，慢车的速度为y千米每小时。由题意可列方程组为

3(x+y)=480①

12(x-y)=480②

①x4得12(x+y)=1920③，

②+③得24x=2400，解得x=100，则 y=60。

答：快车的速度为100千米每小时，慢车的速度为60千米每小时。

(2)慢车开出1小时后两车相距480-60=420千米，

所以快车开出21小时可与慢车相遇。

思路点拨：

这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解，要明确快车与慢车的路程与A、B两地的距离之间的关系，相向而行两车相遇时：快车路程+慢车路程=A、B两地距离;同向而行两车相遇时：快车路程-慢车路程=A、B两地距离。

六、存贷款问题

知识梳理：

利息=本金×利率×期数;

本息和(本利和)=本金+利息。

典型例题：

蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为

3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少万元?

解：设甲种贷款x元，乙种贷款y万元。由题意可列方程组为

x+y=13①

0.06x+0.035v=0.6075②

由①得x=13-y，代入②得

0.06(13-)+0.035=06075，

整理得0025-0.1725，解得 y-6.9，则x=6.1。

答：甲种贷款是61万元，乙种贷款是69万元。

思路点拨：

本题的等量关系：

甲种贷款+乙种贷款=13万元;

甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息=6075元。

七、数字问题

知识梳理：

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a。

典型例题：

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a。

有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数。

解：设两位数个位上是x，十位上是y。由题意可列方程组为

x-y=5①

(10y+x)+(10x+y)=143②

由②得x+y=13③，

①+③得2x=18，解得x=9，则y=4。

答：这个两位数是49。

思路点拨：

本题中的等量关系：

①个位上的数-十位上的数=5;

②原数+新数=143。

八、方案问题

知识梳理：

在解决实际问题时，需合理安排，从几种方案中，选择最佳方案。

要点诠释：

方案选择的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。

典型例题：

已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10t;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11t。某物流公司现有31t货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物。根据以上信息，解答下列问题。

(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨;

(2)请你帮该物流公司设计租车方案;

(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次。出最省钱的租车方案，并求出最少租车费。

解：(1)设1辆A型车装满货物可运货x吨，1辆B型车装满货物可运货y吨。由题意可列方程为

2x+y=10①

x+2y=11②

由①得y=10-2x③，

将③代入②得，x+2(10-2x)=11，

整理得3x=9，解得x=3，则y=4。

答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨。

(2)根据题意可列方程为3a+4b=31，因为ab均为正整数所以ab的取值可分别为17或54或91。

答：该物流公司有三种租车方案。

方案一：租用A型车1辆 B型车7辆;

方案二：A型车5辆，B型车4辆;方案三：A型车9辆，B型车1辆。

思路点拨：

(1)本小问两个等量关系均可利用货物的总吨数等于两种车型所运货物吨数之和，每种车型所运货物的吨数等于该种车的数量乘以每辆车装满货物时可运输的货物吨数，列出方程即可。

(2)根据货物的总吨数等于两种车型所运货物吨数之和列出方程，求解即可。

(3)总费用等于A型车的总费用加上B型车的总费用，比较三种方案的费用得出最省钱的租车方案。

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