2024年初中数学因式分解的七种常用方法

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什么是因式分解

把(a+b)²算出来是整式的乘法：

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b²

反过来，把a²+2ab+b²分解为两个因式的乘积叫因式分解，因式分解是整式乘法的逆过程。

a²+2ab+b²=(a+b)(a+b)=(a+b)²

把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

今天给大家介绍七种常用的因式分解的方法。

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因式分解的7种常用方法

因式分解：x²-y²+x+5y-6

方法一：『配方法』解：x²-y²+x+5y-6=x²+x+1/4-y²+5y-6-1/4

=(x²+x+1/4)-(y²-5y+25/4)

=(x+1/2)²-(y-5/2)²

=(x+1/2+y-5/2)(x+1/2-y+5/2)

=(x+y-2)(x-y+3)

通过完全平方公式，凑成两个数平方的差。

方法二：『十字相乘法』

解：x²-y²+x+5y-6

=(x+y)(x-y)+(x+5y)-6

=(x+y-2)(x-y+3)

方法三：『构造法』

解：观察式子x²-y²+x+5y-6的前两项

x²-y²=(x+y)(x-y)

所以，可设x²-y²+x+5y-6

=(x+y+m)(x-y+n)

=x²-y²+m(x-y)+n(x+y)+mn

=x²-y²+(m+n)x+(n-m)y+mn

可以得到，

①m+n=1

②n-m=5

③mn=-6

利用①②解方程得，m=-2，n=3

所以，原式=(x+y-2)(x-y+3)

方法四：『主元法1』

解：观察式子x²-y²+x+5y-6含有二元，把其中的x当作主要未知数，y当作常量，整理式子得到，

x²-y²+x+5y-6

=x²+x+(-y²+5y-6)

=x²+x+(y-2)(-y+3)

因为(y-2)+(-y+3)=1

所以，原式=(x+y-2)(x-y+3)

方法四：『主元法2』

解：和上面一样，反过来可以把y当作未知数，x当作常数项，得

x²-y²+x+5y-6

=-y²+5y+(x²+x-6)

=-y²+5y+(x+3)(x-2)

因为(-1)(x-2)+(x+3)=5

所以，原式=(y+x-2)(-y+x+3)

=(x+y-2)(x-y+3)

方法五：『提取公因式法1』

解：x²-y²+x+5y-6

=(x+y)(x-y)+(3x+3y)+(-2x+2y)-6

=(x+y)(x-y)+3(x+y)-2(x-y)-6

=(x+y)(x-y+3)-[2(x-y)+6]

=(x+y)(x-y+3)-2(x-y+3)

=(x+y-2)(x-y+3)

方法五：『提取公因式法2』

解：x²-y²+x+5y-6

=(x+y)(x-y)+(-2x+2y)+(3x+3y)-6

=(x+y)(x-y)-2(x-y)+3(x+y)-6

=(x-y)(x+y-2)+[3(x+y)-6]

=(x-y)(x+y-2)+3(x+y-2)

=(x+y-2)(x-y+3)

方法六：『双十字相乘法』

解：x²-y²+x+5y-6

=(x+y-2)(x-y+3)

方法七：『归零法』

解：令x=0，则

原式=-y²+5y-6=(-y+3)(y-2)

令y=0，则

原式=x²+x-6=(x+3)(x-2)

所以，原式=(x-y+3)(x+y-2)

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