2024年初中数学《三角函数解决问题》4类题型

类型一：定位问题

1.某校兴趣小组从游轮拍摄海河两岸美景.如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC.(取1.73，结果保留整数)

解：根据题意可知AB=300 m.

如图所示，过点B作BD⊥AC，

交AC的延长线于点D.在Rt△ADB中，

∵∠BAD=30°，∴BD=1/2AB=1/2×300=150(m).

在Rt△CDB中，∵sin∠DCB=BCBD，

∴BC=sin∠DCBBD=sin 60°150=3300≈173(m).

答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173 m.

类型二：坡坝问题

2.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米.汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度 .(结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)【版权所有：21教育】

解：在Rt△ABE中，∠BEA=90°，∠BAE=45°，BE=20米，

∴AE=20米.

在Rt△BEF中，∠BEF=90°，∠F=30°，BE=20米，

∴EF=tan 30°BE=3=20(米).

∴AF=EF-AE=20-20

≈20×1.732-20=14.64≈15(米).

答：AF的长度约是15米.

类型三：测距问题

3.一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离.(结果保留根号)

解：分两种情况：

(1)如图①，在Rt△BDC中，CD=30千米，BC=60千米.

∴sinB=BCCD=21，∴∠B=30°.

∵PB=PC，∴∠BCP=∠B=30°.

∴在Rt△CDP中，∠CPD=∠B+∠BCP=60°，

∴DP=tan ∠CPDCD=tan 60°30=10(千米).

在Rt△ADC中，∵∠A= 45°，

∴AD=DC=30千米.

∴AP=AD+DP=(30+10)千米.

(2)如图②，同理可求得DP=10千米，AD=30千米.

∴AP=AD-DP=(30-10)千米.

故交叉口P到加油站A的距离为(30±10)千米.

类型四：测高问题

4.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.

(1)求斜坡CD的高度DE;

解：在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，

∴DE=21DC=2米;

(2)求大楼AB的高度.(结果保留根号)

如图，过点D作DF⊥AB，交AB于点F，

则∠BFD=90°，∠BDF=45°，

∴∠DBF=45°，即△BFD为等腰直角三角形，

设BF=DF=x米，

∵四边形DEAF为矩形，

∴AF=DE=2米，即AB=(x+2)米，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴BC=cos 30°AB=3=32x+4=33(2x+4)(米)，

∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，

∴∠DCB=90°，

在Rt△BCD中，BD=BF=x米，DC=4米，

根据勾股定理得：2x2=3(2x+4)2+16，

解得：x=4+4或x=4-4(舍去)，

则大楼AB的高度为(6+4)米.

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